Minkowski ' s desigualdad

Question

Me pregunto cómo probar la desigualdad

$$\left\| \int f(.,y)dy \right\|_{p}\leq \int \left\| f(.,y) \right\|_{p}dy~~~~?$$

Aquí, $f$ es una función integrable en $\mathbb{R}^n$ y $\displaystyle \left\|f\right\|_{p}=\left( \int|f|^pdx \right)^{1/p}$ $p\geq 1.$

Answer 1

Vamos a empezar con esta versión de Minkowski de la desigualdad: $$ \|f+g\|_p\le\|f\|_p+\|g\|_p $$ Podemos repetidamente aplicar esta desigualdad para obtener $$ \left\|\sum_k\;f_k\right\|_p\le\sum_k\|f_k\|_p $$ A continuación, utilizando la propiedad de escala de $\|\cdot\|_p$, podemos escribir $$ \left\|\sum_k\;f_k\Delta_k\right\|_p\le\sum_k\|f_k\|_p\Delta_k $$ Así que podemos escribir una suma de Riemann para la integral de la desigualdad de citar y de paso al límite para obtener la integral de la desigualdad que mencionas.

Otra manera de mostrar esta desigualdad es calcular los $\|\cdot\|_p$ el uso de la dualidad. Es decir, $$ \begin{align} \left\|\int f(\cdot,y)\;\mathrm{d}y\right\|_p&=\sup_{\|h\|_{L^q}=1}\int\int h(x)f(x,y)\;\mathrm{d}y\;\mathrm{d}x\tag{1}\\ \int\|f(.,y)\|_p\;\mathrm{d}y&=\int\sup_{\|h\|_{L^q}=1}\int h(x)f(x,y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y\tag{2} \end{align} $$ donde $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Desde cualquier $h$ utilizado en $(1)$ puede ser utilizado para todos los $y$$(2)$, está claro que $(2)$ es al menos tan grande como $(1)$. Sin embargo, podríamos ser capaces de hacerlo mejor en $(2)$ al elegir otro $h$ por cada $y$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \left\|\int f(\cdot,y)\;\mathrm{d}y\right\|_p&=\sup_{\|h\|_{L^q}=1}\int\int h(x)f(x,y)\;\mathrm{d}y\;\mathrm{d}x\\ &\le\int\sup_{\|h\|_{L^q}=1}\int h(x)f(x,y)\;\mathrm{d}x\;\mathrm{d}y\\ &=\int\|f(.,y)\|_p\;\mathrm{d}y \end{align} $$