Los números primos de la forma $x^2 +ny^2$ donde el intercambio de $x$ $y$ da un primer

Question

Yo soy el estudio de los números primos de la forma $x^2+ny^2$, y me preguntaba si hay algún conocido los resultados acerca de los números primos de esta forma tal que al intercambiar $x$ $y$ también se obtiene una primera. es decir, para $y^2+nx^2$ se obtiene otro número primo, he encontrado un buen montón de estos números primos y se preguntaba si no podría ser infinitamente muchos de estos pares de números primos.

Para $n=2$ he encontrado por ejemplo: $11, 43, 59, 67, 83, 107, 139, 163, 179, 211, \ldots$, todos estos números primos puede ser escrito como $x^2+2y^2$, y para estos valores de $x$ y $y$, $y^2+2x^2$ es también una excelente.

Gracias!

Answer 1

Esto podría hacer que un buen truco pregunta:

Probar o refutar si $p=x^2+2 y^2$ es un prime que es $3 \mod 8$, luego $y^2+2x^2$ es primo.

La respuesta es "refutar". El primer contra-ejemplo que puedo encontrar es$p=131$, $9^2+2 \times 5^2$ donde $5^2+2 \times 9^2 = 187=11 \times 17$. Como voy a explicar a continuación, hay una buena razón donde no hay significativamente más pequeños ejemplos de lo contrario.

Primero de todo, permítanme explicar el $3 \mod 8$ negocio. Una extraña prime es de la forma $x^2+2 y^2$ si y sólo si es $1$ o $3 \mod 8$. Si $p$$1 \mod 8$, $y$ es incluso y $y^2+2x^2$ no es primo. Así que la única primos tenemos que ocuparnos de los que se $3 \mod 8$.

Deje $z=y^2+2x^2$ y vamos a pensar acerca de lo que es un divisor primo $q$ $z$ podría parecer. $z$ es impar, por lo $q$ no $2$. También, $x^2+2y^2$ es divisible por $3$ si y sólo si $y^2+2 x^2$ es, por lo $q$ no $3$. Desde $x^2+2y^2$ es primo, $x$ $y$ son relativamente primos. Por lo $q$ divide ni $x$ ni $y$ y podemos cambiar $x^2 \equiv 2 y^2 \mod q$ a $(x/y)^2 \equiv -2 \mod q$. Por lo $-2$ es un cuadrado modulo $q$, lo que significa que $q$ $1$ o $3$ mod $8$.

Para dar un contra-ejemplo, $z$ debe ser un número que es $3 \mod 8$, no divisible por $3$, y tiene todos los factores primos de igual a $1$ o $3 \mod 8$. El primer número es $187$ y, por supuesto, que le da un contra-ejemplo. De hecho, da a dos: $187$$13^2+2 \times 3^2$, e $3^2+2 \times 13^2 = 347$, que es primo. Algunos otros valores que merece la pena probar son $17 \times 19 = 323$, $11 \times 41 = 451$ y $17 \times 43 = 731$.

Aquí es el experimento que yo haría si yo quería seguir esto aún más: Generar una colección de pares al azar $(x,y)$ $x$ $y$ ambos impares, primos relativos, y exactamente uno de $(x,y)$ divisible por $3$. (Sólo generar enteros aleatorios entre, digamos $1$ $10^4$ con el derecho propiedades modulo $2$$3$, y rechazar los pares que tienen un factor común.) Calcular la proporción de pares para que $x^2+2y^2$ es primo, llame a esta proporción $p$, y la proporción de pares para que $x^2+2 y^2$ $y^2+2 x^2$ son de primer, llamada proporción $q$.

Yo apostaría $q$ está muy cerca de la $p^2$. Si es así, creo que la explicación obvia cubre todo lo que hay que ver aquí.