Representación fiel implica grupo es cíclico

Question

Supongamos que hay un % de representación fiel $\rho:G\to SL_2(\mathbb{R})$. Demostrar que $G$ es cíclico.

Sé que tiene que haber algo especial acerca de su representación ser especial (ningún retruécano previsto) porque por ejemplo, el grupo 4 de Klein tiene una representación especial no. También tiene que ser importante que sea en dos dimensiones, porque $SO(3)$ contiene grupos no-cíclico.

Aparte de eso, yo realmente no he hecho ningún progreso. ¿Cualquier sugerencias?

Answer 1

Supongo que el $G$ es finito (de lo contrario no parece verdad :)

Comenzar con un producto interno en $\mathbb{R}^2$ (por ejemplo con el estándar) y actuar a su media w.r.t. $G$; obtendrá un producto de interior $G$-invariante. $G$ así puede ser visto como un subgrupo finito de $SO_2(\mathbb{R})$, por lo que debe ser cíclico.

Answer 2

Si $G$ es un grupo finito, entonces la imagen de $\rho$ es en $SO_2$ hasta GACION. De hecho, definir

$$A = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \,^t\rho(g) . \rho(g)$$

Entonces usted puede comprobar que el % de matriz $A$define una forma bilineal positiva definida simétrica. Si escribes $A = \,^t B . B$ y $\rho'(g) = B \rho(g) B^{-1}$. Entonces $\rho' : G \to SL_2(\mathbb{R})$ tiene su imagen en $SO_2(\mathbb{R})$ (porque $^t\rho(g) . A . \rho(g) = A$ % todo $g \in G$). Pero $SO_2(\mathbb{R})$ es sólo el círculo de la unidad en $\mathbb{C}$ y los subgrupos sólo finitos de él son cíclicos.