Subgrupo del grupo de clase

Question

Deje $K/\mathbb Q$ ser un número finito de extensión de Galois con grupo de Galois $G$, el anillo de enteros $\mathcal O_K$ $\mathcal Cl(K)$ sus ideales grupo de clase. Quiero mostrar que la $\mathcal Cl(K)^G$ es generado por las siguientes clases: $$[\prod_{\substack{\mathfrak m\in\mathrm{Max}(\mathcal O_K)\\\mathfrak m\mid p}}\mathfrak m]$$ donde $p$ ejecuta a través de los números primos de $\mathbb N$ que se ramifica en $K$.

Aquí es lo que yo hice. Obviamente la inversa de la inclusión es trivial. Deje $I$ a ser un ideal de a $\mathcal O_K$ $[I]$ sea su clase en $\mathcal Cl(K)$. Escribir su primer descomposición de la máxima ideales de $\mathcal O_K$: $$I=\mathfrak m_1^{n_1}\cdots\mathfrak m_s^{n_s}.$$ Puesto que para cada $\sigma\in G$, uno ha $\sigma([I])=[I]$ eso significa que no existe $\alpha_\sigma\in K^*$ tal que $\sigma(I)=\alpha_\sigma I$.

Sé que $G$ actúa transitivamente sobre los máximos ideales de la $\mathcal O_K$ más que en el mismo primer $p\in\mathbb N$, pero no sé cómo usar esto para concluir.

Cualquier sugerencia será bienvenida

Gracias de antemano

Answer 1

La declaración de que usted está tratando de demostrar que no es cierto.

E. g. supongamos que usted tome $K = \mathbb Q(\sqrt{34})$.

A continuación, el ramificada de los números primos son los principales:

• $6 + \sqrt{34}$ es un elemento de norma $2$

• $17 + 3\sqrt{34}$ es un elemento de norma $-17$.

En particular, se han trivial de la imagen en el grupo de clase. En el otro la mano, el grupo de $G$-invariantes es de orden dos. (Creo que es generado por la clase de un ideal de norma $3$.)

El hecho de que este es un contraejemplo está relacionado con el hecho de que $-1$ es una norma de $K$ (por ejemplo, es la norma de $\dfrac{5 -\sqrt{34}}{3}$), pero no una norma de $\mathcal O_K$.

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Su pregunta, en general, está relacionado con la ambigua número de clase de la fórmula. Esta hoja de ejercicio tiene más información sobre el tema (incluyendo el la teoría de la real cuadrática de los campos, de los cuales contraejemplo es un caso especial).

Answer 2

Muestran que el conjugado de los números primos de ${\cal O}_K$ tienen el mismo exponente en $I$'s de la descomposición en factores primos.

Sugerencia: Galois acciones pueden ser aplicadas a los ideales de la divisibilidad de las relaciones, $A\mid B\iff \sigma A\mid \sigma B$.

Con respecto a Galois acciones y divisibilidad, si $A\mid B\Leftrightarrow\sigma A\mid\sigma B$$A\nmid B\Leftrightarrow\sigma A\nmid\sigma B$. Sin pérdida de generalidad, $I$ forma ideal. Supongamos $e$ es el exponente de un primer $\frak P$ en la factorización prima de $I$. Esto significa ${\frak P}^e\mid I$${\frak P}^{e+1}\nmid I$, que es equivalente a las mismas relaciones de $\sigma {\frak P}$, y por lo tanto $\sigma{\frak P}$ tiene el mismo exponente $e$ $I$ 's de la factorización. Recopilar términos juntos para escribir $I$ como un producto de potencias de los radicales ${\rm rad}(p{\cal O}_K)=\prod_{{\frak P}\mid p}{\frak P}$ (es decir, productos de $G$de las órbitas).