Base de clopen y$T_{0}$ implica que$X$ es Tychonoff

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico y asumen $X$ tiene una base $\mathcal{B}$ de clopen conjuntos. Espectáculo $X$ es completamente regular y un $T_{0}$ espacio.

Yo:

Primero no es difícil mostrar que si $B \subset X$$\chi_{B}$, la función característica de a $B$ es cts iff $B$ es clopen.

Así que vamos a $F \subset X$ ser un conjunto cerrado y deje $x \in X \setminus F$. Entonces a partir de la $X \setminus $ está abierto podemos encontrar $B \in \mathcal{B}$ tal que $x \in B \subseteq X \setminus F$. Ahora defina $\phi: X \rightarrow [0,1]$ $\phi(x)= \chi_{B}(x)$ desde $B$ es clopen $\phi$ es un mapa continuo, $\phi(F)=\{0\}$$\phi(x)=1$, por lo $X$ es completamente regular.

EDITAR:

Lo siento, Brian Scott tiene razón, estoy tratando de probar la siguiente, si $X$ $T_{0}$ y tiene una base de clopen establece a continuación, $X$ es completamente regular y $T_{1}$. Así que creo que la anterior prueba es correcta (me.e muestra de ello es completamente regular), cómo mostrar el es $T_{1}$?

Answer 1

Supongamos que$x$ y$y$ son puntos distintos en$X$. $X$ es$T_0$, por lo que WLOG hay un conjunto abierto$U$ que contiene$x$ y no$y$. Para mostrar$X$ es$T_1$, necesitamos encontrar un conjunto abierto que contenga$y$ y no$x$. Pero como$X$ tiene una base de clopen establece, hay un clopen$V$ que contiene$x$ y contenido en$U$. El complemento de$V$ es entonces el conjunto abierto que queremos.