Entendiendo este problema derivado parcial

Question

Problema:

Considerando $x$ $y$ como independiente variables, encontrar $\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial r}{\partial y}, \frac{\partial \theta}{\partial x}, \frac{\partial \theta}{\partial y}$ when $x = e^{2r} \cos \theta, y = e^{3r} \sin \theta$.

Solución:

Por primera vez se diferencian el dado las relaciones con el respeto a $x$:

$1 = 2e^{2r} \cos \theta \frac{\partial r}{\partial x} - e^{2r} \sin \theta \frac{\partial \theta}{\partial x}$ and $0 = 3e^{3r}\sin \theta \frac{\partial r}{\partial x} + e^{3r} \cos \theta \frac{\partial \theta}{\partial x}$.

Luego de resolver simultáneamente para obtener $\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\cos \theta}{e^{2r}(2+\sin^{2} \theta)}$ and $\frac{\partial \theta}{\partial x} = - \frac{3 \pecado \theta}{e^{2r}(2+sen^2 \theta)}$

Pregunta:

(1) Así que primero de todo, ¿por qué la diferenciación con respecto a $x$ resultado $\frac{\partial r}{\partial x}$ $\frac{\partial \theta}{\partial x}$ (por cierto, ¿cuáles son estos?)? Es esto debido a que el problema dice "$x$ $y$ como variables independientes" ? Mi reacción inicial fue de $r$ $\theta$ por separado, mientras que con respecto a todas las demás variables como constantes... Esto está implícito (parcial?) la diferenciación, a la derecha?

¿Cómo debo entender lo que se está haciendo aquí? Muchas veces parece que cosas como esta resultan realmente ser una asignación. Puedo pensar en eso así como así? Yo ni siquiera podía decir cuál es el dominio y el codominio sería...

Siempre que realice esta operación, sólo debo tomar derivadas parciales de ambos lados el tratamiento de todas las variables independientes (aparte de la variable respecto de la cual yo soy la diferenciación) como constantes y todos los no-independiente (dependiente?) variables como variables que deben ser diferenciados y se tiene que la derivada parcial símbolo? Una vez que acepto que puedo ver lo que consiguió el primer implícita diferenciación parcial (si eso es lo que se llama).

(2) ¿Qué es lo que entendemos por "resolver simultáneamente" ? Traté de resolver para cada uno (de nuevo no sé como se llaman todavía) "diferenciales parciales" resultado es: $\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{\sin \theta \frac{\partial r}{\partial x}}{\cos \theta}$$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1+e^{2r}\sin \theta \frac{\partial \theta}{\partial x}}{2e^{2r}\cos \theta}$. Pero yo no podía obtener la misma respuesta... traté de sustituir este más, pero viendo que la respuesta, yo estaba seguro de que me faltaba algo... Podría alguien por favor muéstrame qué hacer?

Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

1. Eso es sólo la Regla de la Cadena (con parciales porque sabes que hay 'realmente' dos variables). Creo que de $r$ como una función de $r(x,y)$, e $\theta$ como una función de $\theta(x,y)$, y solo estás haciendo implícita diferenciación/regla de la cadena. El hecho de que "$x$ $y$ son variables independientes" le dice que $\frac{dy}{dx} = 0$, así que por eso se puede conseguir que la diferenciación de la relación $y=e^{3r}\cos\theta$ con respecto al $x$ da $0$ en el lado izquierdo.

2. Tiene dos expresiones, ambas relacionadas con el desconocido funciones $\frac{\partial r}{\partial x}$, $\frac{\partial \theta}{\partial x}$. Pensar en esas dos como los "desconocidos" en un $2\times 2$ sistema, y resolver el sistema (como se haría con cualquier sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas) para obtener expresiones para cada involucran sólo a $r$s y $\theta$s, y no parciales, $x$s o $y$s.

   E. g., tome la segunda ecuación y se multiplican a través de por $2\cos\theta$ para obtener $$0 = 6e^{3r}\sin\theta\cos\theta\frac{\partial r}{\partial x} + 2e^{3r}\cos^2\theta\frac{\partial\theta}{\partial x}.$$ A continuación, tome la primera ecuación y se multiplican a través de por $-3e^r\sin\theta$ para obtener $$-3e^r\sin\theta = -6e^{3r}\sin\theta\cos\theta\frac{\partial r}{\partial x} +3e^{3r}\sin^2\theta \frac{\partial\theta}{\partial x}.$$ Sumando ambas ecuaciones se elimina $\frac{\partial r}{\partial x}$, por lo que ahora usted puede resolver por $\frac{\partial\theta}{\partial x}$. Etc.

Luego haces lo mismo pero con los parciales con respecto a $y$, utilizando el hecho de que $x$ $y$ son independientes para conseguir ese $\frac{dx}{dy}=0$.

Answer 2

(1) Así, en primer lugar, ¿por qué diferenciando con respecto a x resultado en $\frac{\partial r}{\partial x}, \frac{\partial \theta}{\partial x}$

Estás usando multidimensional de la regla de la cadena. Usted quiere tomar una derivada de una función $f(r,\theta)$ con respecto al $x$, pero tanto $r$ $\theta$ dependen de la $x$. Por lo que $\dfrac{d}{dx}x = \dfrac{d}{dx}\left(e^{2r} \cos \theta\right) = $ by chain rule $ \dfrac{\partial}{\partial r}\left(e^{2r}\cos\theta\right)\dfrac{\partial r}{\partial x} + \dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(e^{2r}\cos\theta\right)\dfrac{\parcial\theta}{\partial x}$.

Similalry $\dfrac{\partial{f(r,\theta)}}{\partial x} = \dfrac{\partial{f(r,\theta)}}{\partial r}\dfrac{\partial r}{\partial x} +\dfrac{\partial{f(r,\theta)}}{\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial x}$

Lo mismo es cierto para $y$. Espero que esto ayude... no estoy seguro de si esta es tu pregunta, ya que se utiliza la regla de la cadena fina. Hágamelo saber y voy a revisar...