Independencia de las sumas de las variables aleatorias gaussianas

Question

Digamos que tengo variables aleatorias gaussianas independientes $t1, t2, t3, t4, t5$ y tengo dos nuevas variables aleatorias $S = t1 + t2 - t3$ y $K = t3 + t4$ .

Son $S$ y $K$ independiente o hay algún teorema sobre la independencia de las variables aleatorias formadas por la suma de gaussianos independientes?

Answer 1

$S,K$ son ambas variables aleatorias normales, por lo que su independencia depende sólo de la covarianza. $cov(S,K) = -Var(t_3) \neq 0$ así que no son independientes.

Answer 2

De hecho, la distribución de la $t_i$ no juega ningún papel significativo aquí, y, además, la existencia de la covarianza no es necesaria. Dejemos que $S=X-Y$ y $K=Y+Z$ donde $X$ , $Y$ y $Z$ son variables aleatorias independientes que generalizan el papel de $t1+t2$ , $t3$ y $t4$ respectivamente. Obsérvese que, por la independencia de $X$ , $Y$ y $Z$ para cualquier $u_1,u_2 \in \mathbb {R}$ que tiene $$ { \rm E}[e^{iu_1 S + iu_2 K} ] = { \rm E}[e^{iu_1 X + iu_1 ( - Y) + iu{}_2Y + iu_2 Z} ] = { \rm E}[e^{iu_1 X} ]{ \rm E}[e^{iu_1 ( - Y) + iu{}_2Y} ]{ \rm E}[e^{iu_2 Z} ] $$ y $$ { \rm E}[e^{iu_1 S} ] { \rm E}[e^{iu_2 K} ] = { \rm E}[e^{iu_1 X} ]{ \rm E}[e^{iu_1 (-Y)} ]{ \rm E}[e^{iu_2 Y} ]{ \rm E}[e^{iu_2 Z} ]. $$ El siguiente teorema básico muestra entonces que $S$ un $K$ no son generalmente independientes.

Teorema. Variables aleatorias $ \xi_1 $ y $ \xi_2 $ son independientes si y sólo $$ { \rm E}[e^{iu_1 \xi _1 + iu_2 \xi _2 } ] = { \rm E}[e^{iu_1 \xi _1 } ]{ \rm E}[e^{iu_2 \xi _2 } ] $$ para todos $u_1,u_2 \in \mathbb {R}$ . (En particular, obsérvese que si $-Y$ y $Y$ no son independientes, entonces existen $u_1,u_2 \in \mathbb {R}$ de tal manera que ${ \rm E}[e^{iu_1 ( - Y) + iu_2 Y} ] \ne { \rm E}[e^{iu_1 ( - Y)} ]{ \rm E}[e^{iu_2 Y} ]$ .)