Tomar una $C^1$ función de $G \colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ y definir un funcional
$$\mathcal{G}(u)=\int_0^1G(u(t))\, dt, \quad u \in H^1(0, 1).$$
Luego tenemos la $\mathcal{G}\in C^1\big(H^1(0, 1)\to \mathbb{R}\big)$. Ahora, me gustaría aplicar el teorema de Weierstrass para este funcional, y por lo tanto tengo que demostrar que es levemente inferior semicontinuo.
Pregunta 1 ¿Es cierto?
Algunas notas del curso que estoy leyendo actuar como si $\mathcal{G}$ fueron débilmente continua, porque afirman que el diferencial
$$\mathcal{G}' \colon H^1(0, 1) \to \big[ H^1(0, 1) \big] ' $$
es débil-fuerte continua. (Esto implica trivialmente la reclamación). Para mostrar que, en primer lugar calcular
$$\langle \mathcal{G}'(u), v \rangle = \int_0^1 G'(u)v\, dt,$$
lo que está claro para mí, y, a continuación, el factor de la asignación de
$$u \in H^1 \mapsto \mathcal{G}'(u) \in \big[ H^1 \big]'$$
como
$$u \in H^1 \mapsto u \in L^\infty \mapsto G'\circ u \in L^\infty \mapsto \mathcal{G}'(u) \in \big[ H^1 \big]';$$
entonces, desde la primera incrustación es compacto (eso dicen) y las otras flechas son continuos, la totalidad de la asignación es débil-fuerte continua.
La pregunta 2 de Este razonamiento parece mal para mí, debido a la incrustación de $H^1(0, 1) \hookrightarrow L^\infty(0, 1)$ no es compacto. Estoy equivocado?
