Cómo encontrar este sistema$a^2+b^2=3,a^2+c^2+ac=4,b^2+c^2+\sqrt{3}bc=7$

Question

Encuentre la solución real del sistema $$ \begin{cases} a^2+b^2=3\\ a^2+c^2+ac=4\\ b^2+c^2+\sqrt{3}bc=7 \end {cases} $$

Creo que se puede usar Geometría para resolver este sistema. Tal vez exista un método algebraico.

$$a^2+b^2=\sqrt{3}^2$ $$$a^2+c^2-2ac\cos{(120°)}=2^2$ $$$b^2+c^2-2bc\cos{150°}=\sqrt{7}$ $ y nota$$150°+120°+90°=360°$ $

Esta es la competencia de Matemáticas de la provincia de Zhejiang hoy.

Answer 1

Asumiendo $a,b,c>0$, como señaló el igualdades son sólo coseno leyes para $3$ triángulos que forman un mayor triángulo con lados de $2,\sqrt3,\sqrt7$, debido a que los ángulos suman a $2\pi$. Ese triángulo de la derecha, porque $4+3=7$, por lo que podemos encontrar las longitudes analíticamente si sacamos algo como esto:

De aquí partimos $A=(0,0)$, $B=\left(0,\sqrt3\right)$ y $C=(2,0)$. El ángulo de $APB$ es el adecuado, por lo $P$ se encuentra en el círculo con el centro $S_1=\left(0,\frac{\sqrt3}2\right)$ y radio de $\frac{\sqrt3}2$. El tamaño del ángulo $APC$$\frac{2\pi}3$, lo $ACX$ es un triángulo equilátero y $P$ se encuentra en el círculo con el centro $S_2=\left(1,-\frac{\sqrt3}3\right)$ y radio de $\frac{2\sqrt3}3$.

Así que si $P=(x,y)$, luego \begin{alignat*}{5}x^2+\left(y-\tfrac{\sqrt3}2\right)^2\ &=\left(\tfrac{\sqrt3}2\right)^2&&=\tfrac34&\ \Longleftrightarrow\ &&0\ &=x^2+y^2-\sqrt3\ y\\ (x-1)^2+\left(y+\tfrac{\sqrt3}3\right)^2\ &=\left(\tfrac{2\sqrt3}3\right)^2&&=\tfrac43&\ \Longleftrightarrow\ &&2x\ &=x^2+y^2+\tfrac{2\sqrt3}3y\end{alignat*} Por lo $x=\frac12\left(\tfrac{2\sqrt3}3+\sqrt3\right)y=\tfrac{5\sqrt3}6y$$0=\left(\tfrac{5\sqrt3}6y\right)^2+y^2-\sqrt3\ y\Longleftrightarrow0=y(111y-36\sqrt3)$, lo $y=\frac{12\sqrt3}{37}$$x=\frac{30}{37}$, porque queremos que la solución distinto de cero.

Por lo tanto $a=\sqrt{\left(\frac{30}{37}\right)^2+\left(\frac{12\sqrt3}{37}\right)^2}=\dfrac6{\sqrt{37}}$, $b=\sqrt{\left(\frac{30}{37}\right)^2+\left(\sqrt3-\frac{12\sqrt3}{37}\right)^2}=\dfrac{5\sqrt3}{\sqrt{37}}$ y $c=\sqrt{\left(2-\frac{30}{37}\right)^2+\left(\frac{12\sqrt3}{37}\right)^2}=\dfrac8{\sqrt{37}}$.

---

Si desea que todas las soluciones reales, entonces se puede resolver geométricamente. Simplemente hay que considerar los diferentes signos antes de $ac$$bc$. Por ejemplo,$-ac=-2ac\cos\frac\pi3$$\sqrt3\,bc=-2bc\cos\frac{5\pi}6$. Vemos que $\frac\pi2+\frac\pi3=\frac{5\pi}6$, por lo que podemos sacar la siguiente imagen:

El triángulo $ACX$ es de nuevo equilátero y puede ser resuelto de una manera similar. Esto le da a $a=\dfrac6{\sqrt{13}}, b=\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{13}}, c=\dfrac8{\sqrt{13}}$ y si negamos $a$ obtenemos una solución para el problema original.

Configuraciones similares se pueden hacer para el otro $2$ posibilidades, pero no hay soluciones, por lo que estos dos se encontró junto con sus negaciones son todos los $4$ soluciones reales.

Answer 2

Aquí es una solución algebraica que se obtiene de todas las respuestas reales.

Vamos a presentar los números complejos: $$x=\frac{-b+i a}{\sqrt{3}},\quad y=\frac{2a+c}{4}-i\frac{\sqrt{3}}{4}c.$$

Las dos primeras ecuaciones son equivalentes a la instrucción: $\vert x\vert=\vert y\vert=1$, y la tercera ecuación nos dice que $$\vert \sqrt{3} x-2i y\vert^2=\left\vert b+\frac{\sqrt{3}+i}{2} c\right\vert^2 =b^2+c^2+\sqrt{3}ac=7$$ Por otro lado, desde la $\vert x\vert=\vert y\vert=1$ vemos que $\vert \sqrt{3} x-2i y\vert^2=3+4+4\sqrt{3}\,\Re(ix\bar{y})$. Por lo tanto, hemos $\Re(ix\bar{y})=0$ $x\bar{y}$ es un número real de módulo de $1$ o $y=\pm x$.

• Si $y=x$, llegamos a la conclusión de la comparación de piezas reales, imaginarios y las partes que $$b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}a,\qquad c=-\frac{4}{3}a,$$ y sustituyendo en la primera ecuación obtenemos $b=\epsilon\sqrt{3/13}$$\epsilon\in\{+1,-1\}$, y esto da lugar a la par de soluciones: $$ a=-\epsilon\frac{6}{\sqrt{13}},~b=\epsilon\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}},~ c=\epsilon\frac{ 8}{\sqrt{13}},\quad\hbox{con }\epsilon\en\{+1,-1\}$$
• Si $y=-x$, llegamos a la conclusión del mismo modo que $$b=\frac{5}{2\sqrt{3}}a,\qquad c=\frac{4}{3}a,$$ y Sustituyendo en la primera ecuación obtenemos el segundo par de soluciones: $$ a= \epsilon\frac{6}{\sqrt{37}},~b=\epsilon\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{37}},~ c=\epsilon\frac{ 8}{\sqrt{37}},\quad\hbox{con }\epsilon\en\{+1,-1\}$$ y hemos terminado, con cuatro soluciones en total.