Matemáticamente, ¿qué ocurre en la pantalla del experimento de las 2 rendijas?

Question

Matemáticamente, ¿qué ocurre en la pantalla del experimento de las 2 rendijas? ¿Cómo se representaría la pantalla detectora en el extremo receptor? ¿Qué condición de contorno habría que utilizar allí para representar la pantalla detectora?

Cuando se resuelve la ecuación de Schrodinger, es necesario especificar las condiciones de contorno. Para el experimento de las dos rendijas, debe haber un potencial con dos pequeños huecos que represente la pantalla con las dos rendijas, y debe haber un potencial que represente la pantalla del detector en el extremo receptor. ¿De qué manera se deberían escribir estos potenciales, especialmente el de la pantalla detectora? Es decir, ¿cuál sería la condición de contorno en la pantalla?

Hay una pregunta y respuesta relacionada en ¿Cuál es la función de onda del experimento de la doble rendija de Young? pero no aborda matemáticamente lo que ocurre en la pantalla de detección.

Answer 1

Al modelar un experimento cuántico, la ecuación de Schrodinger no es el final de la historia. Utilizamos la ecuación de Schrodinger (con una elección adecuada del potencial y de las condiciones de contorno) para representar el estado evolutivo del sistema, sin embargo el proceso de medición (en este caso una pantalla de detección) está completamente ausente de esta parte del modelo.

En su lugar, la pantalla de detección se representa mediante una elección adecuada del operador autoadjunto, que en este caso sería un operador de multiplicación correspondiente al eje a lo largo del cual se alinea la pantalla.

En otras palabras, modelamos el pantalla de doble rendija mediante una elección adecuada del potencial y de las condiciones de contorno en las funciones de onda, y modelamos el pantalla de detección por un operador separado autoadjunto. Los dos componentes del modelo se unen en el punto en el que calculamos las probabilidades mediante la regla de Born.

Como curiosidad, si te preguntas cómo modelar la propia pantalla de detección como un sistema cuántico (en lugar de como un observable "externo"), ¡únete al club! Se trata de un problema sin resolver de la mecánica cuántica que recibe el nombre de Problema de medición . Su resolución merecería un Premio Nobel, así que me temo que es poco probable que obtenga respuesta a esa pregunta aquí ;-)

Answer 2

El resultado de la doble rendija es una versión simplificada de los montajes mucho más complicados de los experimentos de física de partículas. En estos experimentos, la región de interacción primaria se modela utilizando la teoría cuántica de campos, de partículas puntuales que interactúan en una serie sumada de diagramas de Feynman.

Las partículas salientes que abandonan la región de interacción hacia los detectores se tratan esencialmente como wavepackets, dentro de una región de incertidumbre coherente con la Relaciones de incertidumbre de Heisenberg ,HUP, es decir, modelada como una partícula clásica. Los impactos en los detectores también se tratan macroscópicamente, de nuevo porque la región de interacción de la partícula saliente con el detector es mucho mayor que las restricciones mecánicas cuánticas de la HUP.

La región de interacción equivalente para los experimentos de dos rendijas, donde es necesaria una solución mecánica cuántica es la "dispersión de electrones en dos rendijas", con los límites geométricos específicos. La pantalla es el detector.

Las interacciones de los electrones en la pantalla , los puntos medidos, están muy por encima de los límites del HUP y el paquete de ondas del electrón está bien aproximado por el punto en el espacio (x,y).

Si lo que te preocupa es que en principio se debería escribir una expresión matemática para todo el experimento, es decir, que existe un entrelazamiento del paquete de ondas inicial de electrones que incide y atraviesa el plano de la rendija con el mismo paquete de ondas que incide en la pantalla, el matriz de densidad ayuda a aclarar esto: cuando las dimensiones se vuelven macroscópicas con respecto al HUP, los elementos fuera de la diagonal del entrelazamiento de las partículas de la pantalla con el paquete de ondas del electrón entrante son cero, las fases se pierden, exactamente porque las dimensiones involucradas son macroscópicas, como se mide usando el HUP.

Así pues, visto como un montaje experimental, la interacción mecánica cuántica se produce a nivel de las dos rendijas, cuyas distancias se han elegido de forma que sean conmensurables con la longitud de onda de De Broglie del electrón. La pantalla es sólo un detector.

Por supuesto, existe una interacción mecánica cuántica cuando el electrón golpea la pantalla: los átomos se ionizan y la energía se distribuye de forma multicuerpo. La matriz de densidad para esta parte tiene elementos no diagonales, es decir, fases mecánicas cuánticas, sólo con las funciones de onda de la dispersión local. La función de onda de dos rendijas no tiene elementos no diagonales en la matriz de densidad con las funciones de onda de las dispersiones locales de la pantalla.

Answer 3

Matemáticamente, ¿qué ocurre en la pantalla del experimento de las 2 rendijas?

Bueno, un electrón tiene un naturaleza ondulada Por eso podemos difractar electrones . No es una partícula puntual. Pero cuando la detectamos en la pantalla, vemos un punto. Así que, matemáticamente, lo que ocurre en la pantalla es algo parecido a una transformada de Fourier. Ver Steven Lehar's página web en eso. Preste especial atención al óptico Transformada de Fourier en la que la onda incidente se convierte en algo puntual:

¿Cómo se representaría la pantalla detectora en el extremo receptor? ¿Qué condición de contorno debería utilizarse allí para representar la pantalla detectora?

Lo siento, no lo sé.

Cuando se resuelve la ecuación de Schrodinger, es necesario especificar las condiciones de contorno. Para el experimento de las 2 rendijas, debe haber un potencial con dos pequeños huecos que representen la pantalla con las dos rendijas....

Echa un vistazo al artículo de Ehrenberg y Siday de 1949 El índice de refracción en la óptica de electrones y los principios de la dinámica *. Un electrón se representa como ondas planas que pasan por un solenoide en la figura 2. (Editar : no muy diferente del haz gaussiano al que se refería Neurofuzzy en la otra pregunta). Así que imagino que se podría emular esto y representar un electrón como ondas planas pasando por dos rendijas, de forma parecida a olas de agua .

y debe haber un potencial que represente la pantalla del detector en el extremo receptor. ¿De qué manera se deberían escribir estos potenciales, especialmente el de la pantalla detectora? Es decir, ¿cuál sería la condición de contorno en la pantalla?

Lo siento, no lo sé. Pero tenga en cuenta que en la pantalla tenemos una interacción entre dos entidades electromagnéticas extendidas, y la combinación parece puntual.

Hay una pregunta y una respuesta relacionadas en ¿Cuál es la función de onda del experimento de la doble rendija de Young? pero no aborda matemáticamente lo que ocurre en la pantalla de detección.

Eché un vistazo. Observa que envías un electrón a través del aparato, y obtienes un punto en la pantalla. Ver el Artículo de Wikipedia . Así que se podría pensar que el electrón es puntual. Sin embargo, sabes que la luz que atraviesa una lente no es puntual. Y cuando ves el patrón acumulado, sabes que el electrón tampoco es puntual. Después de todo, es el Ecuación de onda de Schrödinger y no la ecuación punto-partícula de Schrödinger.

• Tengo un enlace no de pago al artículo completo en alguna parte. Lo sacaré esta noche.