Sea {$x_n$} secuencia monótona creciente de números reales positivos. Mostrar que si {$x_n$} no tiene límites, entonces$\sum_{n=1}^{\infty}(1-\frac{x_n}{x_{n+1}})$ diverge.
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Omran Kouba
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Utilizando la conocida desigualdad de $\ln a\leq a-1$ $a=x_{k+1}/x_k$ obtenemos $$ \ln x_{k+1}-\ln x_k\leq \frac{x_{k+1}-x_k}{x_k} $$ La adición de estas desigualdades para $k\in\{1,2,\dots,n-1\}$, obtenemos $$ \ln x_{n}-\ln x_1\leq\sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_{k+1}-x_k}{x_k} $$ pero la secuencia de $\{x_n\}$ en creciente y acotada, por lo tanto $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x_{k+1}-x_k}{x_k}=+\infty.\la etiqueta{1} $$ Ahora supongamos, por contradicción, que se considera la serie no converge, $i.e.$ $$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}}<+\infty\tag{2}$$ luego de su término general que se debe tender a cero, que es $\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{x_k}{x_{n+1}}=1$, lo que implica que $$ \dfrac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}}\sim_{\infty}\dfrac{x_{k+1}-x_k}{x_{k}} $$ y contradice (1). Esta contradicción demuestra que (2) es absurdo y de la serie $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \dfrac{x_{k+1}-x_k}{x_{k+1}}$ debe ser divergentes.
Tomas Dabasinskas
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Si$\frac{x_n}{x_{n+1}}$ no tiende a$1$ entonces la secuencia diverge porque el$n$ th término no tiende a cero. Si$\frac{x_n}{x_{n+1}}\to 1$ entonces su secuencia es equivalente a la secuencia$\log(\frac{x_n}{x_{n+1}})$ que diverge por un argumento de serie telescópica. La razón por la que la secuencia es equivalente a$\log(\frac{x_n}{x_{n+1}})$ se debe a que como$x\to 0$ uno tiene$\log (1+x)\sim x$.
