¿Es fácil mostrar (o incluso saber) que hay infinitamente muchos pares libres de cuadrados$6k-1,6k+1$?
(Presumiblemente, no se ha refutado aún, ya que mucha gente estaría perdiendo su tiempo en la conjetura de doble primo si lo fuera.)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Dado un primer $p > 3$, la setf $A_p = \{k \in \mathbb{N}\setminus \{0\} : 6k \equiv \pm 1 \pmod{p^2}\}$ contiene exactamente dos elementos en cada intervalo de longitud de $p^2$.
También, si $n\geq 7$ $A_p\cap \{1,2,\dots,n\}=\emptyset$ al $p\geq n$, ya que el $p^2\mid 6k\pm 1$$6k+1\geq p^2$, lo que significa, a su vez $k\geq\frac{p^2-1}{6} \geq p+1>n$.
Así
$$\biggl\lvert\{ 1,\dotsc,n\} \cap \bigcup_{p > 3} A_p\biggr\rvert \leqslant \sum_{3 < p \leqslant n} 2\biggl\lceil \frac{n}{p^2}\biggr\rceil \leqslant 2\pi(n) + 2n\sum_{3 < p\leqslant n} \frac{1}{p^2},$$
y desde $\frac{\pi(n)}{n}\to 0$, el natural de la densidad de
$$A = \bigcup_{p > 3} A_p$$
está acotada arriba por
$$\sum_{ p > 3} \frac{2}{p^2} < 2\sum_{k = 2}^\infty \frac{1}{(2k+1)^2} < 1.$$
Por lo tanto el natural de la densidad de $B = \mathbb{N}\setminus (A\cup \{0\})$ es positivo, en particular, $B$ es infinito.
(Corregido argumento por Thomas Andrews' comentario.)
