Una ruleta tiene los números del 1 al 25 colocados al azar. Demuestra que hay tres números adyacentes cuya suma es al menos 39.

Question

Cualquier idea para entender cómo hacerlo utilizando el Principio de Inducción Matemática sería genial.

Una rueda de la fortuna tiene los números enteros del 1 al 25 colocados en ella de forma aleatoria. Demuestra que, independientemente de cómo se coloquen los números en la rueda, hay tres números adyacentes cuya suma es al menos 39?

Answer 1

No sé cómo aplicarías la inducción a esto, pero no es un problema difícil.

Hay 25 segmentos de 3 números. (Por supuesto, se solapan unos con otros.) Sea $S_1, S_2, \ldots, S_{25}$ sea la suma de los tres números de cada segmento. Si sumas $S = S_1+\cdots + S_{25}$ has sumado cada uno de los números $1,\ldots, 25$ tres veces, para que puedas calcular exactamente $S$ debe ser.

Supongamos ahora que cada uno de $S_1,\ldots, S_{25}$ eran inferiores a 39. Esto pondría un límite superior a lo grande $ S = S_1+\cdots + S_{25}$ podría ser. ¿Sería esto coherente con el valor de $S$ que ha encontrado en el párrafo anterior? Si no, has demostrado que debe haber algún $S_i$ que tiene al menos 39 años.

Answer 2

Tenga en cuenta que esto se puede mejorar a 41 (en lugar de 39) utilizando las mismas ideas.

Considere la posición del número 1.
Tome los 8 conjuntos consecutivos de 3 dígitos después de eso. (Estas sumas corresponderían a $S_2, S_5, S_8, S_{11}, S_{14}, S_{17},S_{20}, S_{23}$ en la notación de MJD).
Estos conjuntos tienen una suma de $ 2 + 3 + \ldots + 25 = 324$ .
Por lo tanto, por el principio de encasillamiento, uno de ellos debe haber sumado al menos $\left\lceil \frac{324}{8} \right\rceil = 41 $ .

¿Es 41 lo mejor que podemos hacer? Ni idea.