Hay graves problemas con el pensamiento común inherente a las formas diferenciales. Por ejemplo, en el cálculo vectorial, se puede considerar un campo de vectores
$$\mathbf G(\mathbf r) = \frac{\mathbf r}{4\pi r^3}$$
Usted puede integrar de manera significativa a la divergencia de este campo vectorial,
$$\int_{M} \nabla \cdot \mathbf G \, dV$$
y si la región contiene el origen, se obtiene 1, de lo contrario 0.
En formas diferenciales lengua, como su única martillo el exterior de derivados. En lugar de considerar campos vectoriales como usted está acostumbrado en cálculo vectorial, usted tiene que convertir $\mathbf G$ a un 2-formulario de $\omega$.
$$\omega = \frac{z \, dx \wedge dy + y \, dz \wedge dx + x \, dy \wedge dz}{4\pi r^3}$$
Y, a continuación, hacer una integral como
$$\int_{M} d\omega$$
como normalmente se hace. Pero este es el gran problema con el aprendizaje de formas diferenciales cuando viene de cálculo vectorial. Usted tiene que tomar todas las cosas que usted está familiarizado con y gire al revés. Usted tiene que tomar campos vectoriales y la convierten en una de dos formas para tomar significativas divergencias; tienes que convertirlos a una de las formas de tomar las debidas rizos (aunque esto es mucho menos peculiar).
Lo que está realmente pasando aquí puede ser explicado en otro formalismo llamado geométricos de cálculo. Se impone que cuando integramos sobre geométrica de las regiones (superficies, volúmenes, etc), la integración de la medida en sí no sólo contiene la magnitud de la formación (el área de la superficie, el tamaño del volumen), pero la dirección de información, también. Así que en lugar de $dV$, podemos integrar sobre $d\mathbf V$, un 3-vector medida. Dado que todos los 3-vectores en 3d son múltiplos escalares de cada uno de los otros, a esto le llamamos simplemente $\mathbf I \, dV$.
Podemos integrar de manera significativa campo vectorial divergencias de esta forma sin arbitrariamente la conversión de dos formas. Más bien, la "necesidad" de hacerlo de la siguiente manera de álgebra.
$$\int_M (\nabla \cdot \mathbf G) (\mathbf I \, dV)$$
El 3-vector $\mathbf I$ convierte las direcciones de planos ortogonales y puntos de volúmenes. Me someto a usted, por razones demasiado complejas para entrar en, que $(\nabla \cdot \mathbf G) \mathbf I = \nabla \wedge [\mathbf G \mathbf I]$ el uso de las reglas fundamentales de álgebra de Clifford que geométricos de cálculo está construido en la parte superior de. Es $\mathbf G \mathbf I$ que es la 2-forma$\omega$, $\nabla \wedge$ que realmente representa, para todos los objetos, en el exterior de derivados.
Lo que esto dice geométricamente es que hay una equivalencia entre las siguientes: tomando la divergencia de un campo vectorial (que produce un escalar) y la conversión de que el vector de campo a sus planos ortogonales, encontrar la derivada ortogonal a todos los aviones y, a continuación, convertir el volumen resultante de la espalda por un escalar. Esa es la naturaleza de la divergencia como se ve en formas diferenciales, y queda muy claro el uso de cálculo geométrico.
Geométricos de cálculo es una forma natural y potente extensión para el cálculo vectorial usted probablemente ya sabe. La notación es mucho más similar, seguramente, mientras que todavía son capaces de expresar todo lo que usted necesita hacer en dimensiones superiores. Se llama geométricos de cálculo por una razón, ya que muchos de los principales proponentes de hacer hincapié, tanto como sea posible, la geometría de la naturaleza de la base del álgebra y el cálculo.
Si usted se interesa en este campo, la canónica de referencia es un Álgebra de Clifford Geométricos de Cálculo por Hestenes y Sobczyk. Es un poco más de texto, pero contiene buen material sobre la relación entre multivector funciones y formas diferenciales. Más moderno es el tratamiento Vectorial y Cálculo Geométrico por Macdonald, que aspira a ser una más elementales de texto. El Álgebra geométrica de los Físicos por Doran y Lasenby contiene muchas aplicaciones y un buen capítulo sobre geométricos de cálculo que se condensa Hestenes y Sobczyk en algo un poco más accesible.
