Derivados $\nabla_i T^{ik}=0$ de la tensión tensor de energía de un sistema físico expresa de leyes de conservación. Si contiene un estrés energía tensor también la información sobre las ecuaciones de movimiento del sistema?
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1) supongamos que el sistema es un clásico y tiene una formulación Lagrangiana
$$ S[\phi]~=~ \int \mathbb{L}, \qquad\qquad \mathbb{L} ~=~{\cal L} ~dx^0 \wedge \ldots\wedge dx^{d-1}, $$
en términos de una densidad Lagrangiana ${\cal L}={\cal L}(\phi,\partial\phi)$, que no depende explícitamente en el $d$-dimensiones espacio-tiempo coordina $x^{\mu}$.
2) el Teorema de Noether para el mundial de simetría de traslación $x^{\mu}\to x^{\mu}+\delta x^{\mu} $ los rendimientos de los siguientes off-shell relación
$$ d_{\mu} T^{\mu}{}_{\nu} ~=~ - \phi^{\alpha}_{,\nu} ~\frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha} }, \qquad\qquad \phi^{\alpha}_{,\nu}~:=~\frac{\partial\phi^{\alpha}}{\partial x^{\nu}} . $$
Así, se puede deducir la ley de la conservación de
$$d_{\mu} T^{\mu}{}_{\nu}~\approx~ 0$$
a partir de las ecuaciones de movimiento (moe)
$$\frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha} } ~\approx~ 0. $$
Sin embargo, hay muchos ejemplos en los que uno puede no deducir la otra manera, en particular, si hay más misiones de observación electoral (marcado por $\alpha$) que las leyes de conservación (marcado por $\nu$). [Aquí el $\approx$ signo significa igualdad modulo moe.]
3) OP plantea una interesante cuestión de si uno puede deducir las ecuaciones del movimiento a partir del conocimiento de la tensión de la energía tensor $T^{\mu}{}_{\nu}$ sí? Esto es casi el caso, pero hay ciertos términos que la tensión de la energía tensor $T^{\mu}{}_{\nu}$ no puede ver, consulte la Sección 4, 5 y 6 siguientes. La pregunta es más fácil de resolver si uno tiene acceso directo a$^1$ a la canónica de estrés-tensor de energía
$$T^{\mu}_{({\rm puede})\nu} ~:=~\phi^{\alpha}_{,\nu} ~\Pi^{\mu}_{\alpha}-\delta^{\mu}_{\nu}~{\cal L},\qquad\qquad \Pi^{\mu}_{\alpha}~:=~\frac{\partial{\cal L}}{\partial \phi^{\alpha}_{,\mu} }. $$
Se hace más difícil si hay también la mejora de los términos permitidos
$$ T^{\mu}{}_{\nu}~=~T^{\mu}_{({\rm can})\nu}+d_{\lambda}f^{\lambda\mu}{}_{\nu},\qquad\qquad f^{\lambda\mu}{}_{\nu} ~=~ - f^{\mu\lambda}{}_{\nu}, $$
y/o si uno sólo sabe $T^{\mu}{}_{\nu}$ modulo términos proporcionales a las misiones de observación electoral (con la complicación adicional de que uno no sabe las misiones de observación electoral, para empezar).
4) Como un topológico-sigma-modelo-como contraejemplo, considere la posibilidad de una $d$-forma
$$ \vartheta ~=~ \frac{1}{d!}\vartheta_{\alpha_1\ldots\alpha_d } ~d\phi^{\alpha_1} \wedge \ldots \wedge d\phi^{\alpha_d}, \qquad\qquad \vartheta_{\alpha_1\ldots\alpha_d }~=~\vartheta_{\alpha_1\ldots\alpha_d}(\phi), $$
en el $\phi$ objetivo del espacio. Deje $\omega:=d\vartheta$ un $d+1$ formulario. Ahora definir el Lagrangiano $d$-forma
$$ \mathbb{L}~:=~\phi^*\vartheta $$
por el pull-back a la $x$mundo de volumen. La correspondiente canónica de estrés-tensor de energía se desvanece de forma idéntica $T^{\mu}{}_{\nu} ~\equiv~0$, mientras que las misiones de observación electoral de convertirse en
$$\phi^*i_{\alpha}\omega ~\approx~ 0,$$
donde $i_{\alpha}$ denota la contracción wrt. el campo de vectores $\frac{\partial}{\partial\phi^{\alpha}}$. El punto principal es que la desaparición de la tensión-energía tensor $T^{\mu}{}_{\nu} ~\equiv~0$ no lleva ninguna información acerca de la $d$forma $ \vartheta$. Las ecuaciones de movimiento son sólo trivial, es decir, $0=0$ si $\omega=0$, es decir, si $\vartheta$ es cerrado.
Peor aún, para un modelo genérico, el Lagrangiano $d$forma $\mathbb{L}$ podría contener un $\phi^*\vartheta$ plazo, que el estrés de la energía tensor $T^{\mu}{}_{\nu}$ no puede ver.
5) Considerar, para la simplicidad, el caso especial de punto de mecánica donde $d=1$. Entonces la tensión-energía tensor es sólo la función de la energía $h:=T^0{}_0$. Del mismo modo, podemos cambiar la notación $x\to t$$\phi^{\alpha}\to z^I$. La forma- $\vartheta$ es un presymplectic potencial
$$\vartheta ~=~\vartheta_I~ dz^I, \qquad\qquad \vartheta_I~=~\vartheta_I(z), $$
y los dos forman $\omega:=d\vartheta$ es un presymplectic de dos formas. (Si los dos-formulario de $\omega$ es no-degenerado, se convierte en un simpléctica de dos formas.) El Lagrangiano es
$$L~=~\vartheta_I~\dot{z}^I,$$
que puede ser visto como un Hamiltoniano del sistema con cero de Hamilton. La correspondiente función de la energía se desvanece de forma idéntica $h~\equiv~0$, mientras que las ecuaciones de los movimientos se convierte en
$$\omega_{IJ}~\dot{z}^J ~\approx~ 0.$$
6) Para ser explícitos, considere la posibilidad de $n$ no-relativista de partículas cargadas en un vector magnético potencial de ${\bf A}$. De trabajo en las unidades en donde $c=1$, el Lagrangiano de lee
$$L~=~\sum_{i=1}^n \frac{m_i}{2} \dot{\bf r}^2_i + \sum_{i=1}^n q_i\dot{\bf r}_i\cdot {\bf}({\bf r}_i) - V({\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_n),$$
donde hemos añadido un potencial de $V=V({\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_n)$ a ser más general. La correspondiente función de la energía
$$h ~=~\sum_{i=1}^n \frac{m_i}{2} \dot{\bf r}^2_i + V({\bf r}_1, \ldots, {\bf r}_n)$$
no se sabe acerca de la potencial magnético ${\bf A}$. Sin embargo, las misiones de observación electoral contener la fuerza de Lorentz. Aquí el potencial magnético ${\bf A}$ desempeña el papel de la presymplectic potencial de la Sección 5.
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$^1$ Parece que es cierto que algo artificial que uno sabe de antemano si una determinada tensión-energía tensor $T^{\mu}{}_{\nu}$ es canónico o no, porque si uno no sabe las misiones de observación electoral, no se puede saber la densidad Lagrangiana ${\cal L}$.
Adam
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8165
KBulgrien
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11
La situación es similar a la de conservación de la energía, el impulso, etc. en la mecánica clásica. Considere por ejemplo el movimiento de la masa de $m$ en el potencial de $V(r)$. En el caso general, la energía se conserva, y el impulso no es. Sabemos que la expresión de la energía:
$E=\frac{mv^2}{2}+V(r) = const$
La ecuación del movimiento es
$\frac{d\vec{v}}{dt}=-\nabla V(r)$
y no puede ser derivado de la expresión de la energía. Sin embargo, a sabiendas de la integral de movimiento hace que sea más fácil encontrar la solución de las ecuaciones de movimiento.
Del mismo modo, las ecuaciones de Maxwell (las ecuaciones de movimiento) no puede ser derivado de campo electromagnético de estrés-tensor de energía.
Por otro lado, la expresión para la tensión -energía tensor puede ser utilizada para obtener las expresiones para algunos otros importantes cantidades físicas.
Si consideramos el sistema compuesto de carga + campo electromagnético, podemos derivar la fuerza de Lorentz que actúa sobre la carga de la expresión de EM campo de tensión de la energía tensor y ecuaciones de Maxwell:
$\frac{\partial T^k_i}{\partial x^k}=-\frac{1}{c}F_{il}J^l$
Lo que es importante aquí es que utilizamos la expresión para la EM campo de tensión-energía tensor y ecuaciones de Maxwell (las ecuaciones de movimiento para los campos EM) para obtener la fuerza que actúa sobre la carga.
Pero sabiendo la fuerza que actúa sobre la carga no es suficiente para derivar la ecuación de movimiento para el cargo. También necesitamos saber la "inercia" propiedades de la carga para que.
Terminus
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304
Ciertamente hay sistemas que se describen completamente por su energía-impulso de la conservación como un simple ejemplo tomemos una dimensión de la partícula en un potencial. La energía se conserva: $$ \frac{m \dot{x}^2}{2} + V(x) = E $$ Diferenciando esta expresión w.r.t. el tiempo uno se
$$ \frac{2 m \dot{x} \ddot{x}}{2} + \frac{\partial V(x)}{\partial x} \dot{x} = 0 $$
$$ (m \ddot{x}+ \frac{\partial V(x)}{\partial x} )\dot{x} = 0 $$
Esto significa que cualquiera de E. O. M. s son satisfechos o la partícula está en reposo en cualquier lugar. Si uno puede descartar el último caso por la física argumentos, uno llega a una derivación.
Lo mismo es cierto para, por ejemplo, escalar campo. Sin embargo, como se ha demostrado en otras respuesta (Sigma-modelo) -leyes de conservación puede ser echado a perder en el camino que ellos no aportan ninguna información. Esto es, afortunadamente, no es el caso para el clásico de campos.
Keng
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10618
El caso de electrovacuum.
En la Relatividad General, desde el tensor de Ricci, sabemos que el estrés tensor de energía y viceversa (por la ecuación de Einstein).
Hay algunas condiciones que, si está satisfecho por el tensor de Ricci (o, equivalentemente, por el estrés de la energía tensor), son equivalentes al hecho de que las ecuaciones de los movimientos son los de electromagnetismo, e incluso podemos determinar el tensor electromagnético (hasta un total de fase "factor", o incluso de forma exclusiva en "cargo sin cargo"). Son llamados los Rainich condiciones, y fueron propuestos en 1924-25 por G. Y. Rainich.
Estas condiciones fueron redescubiertas por Misner y Wheeler, como parte de la carga sin carga subprograma de geometrodynamics. Para esto, vea la Geometría de la gravitación y el electromagnetismo, por L. Witten, y el capítulo 9 de la Gravitación: Una Introducción a la Investigación Actual, ed. L. Witten, y la sección 5.3 de Spinors y el Espacio-tiempo: Spinor y twistor métodos de geometría espacio-tiempo, R Penrose, W Rindler - 1986.
