$\{a+b|a,b\in\mathbb N^+\wedge ma^2+nb^2\in\mathbb P\}=\{k>1|\gcd(k,m+n)=1\}$

Question

Conjetura:
$\{a+b|a,b\in\mathbb N^+\wedge ma^2+nb^2\in\mathbb P^{>2}\}=\{k>2|\gcd(k,m+n)=1\}$ si $m,n\in \mathbb N^+$$\gcd(m,n)=1$.

Esta es una generalización de Cualquier número impar es de la forma $a+b$ donde $a^2+b^2$ es primo. Tal vez la generalización de contagio de alguna luz de lo que está pasando?

Existe una correspondencia perfecta de la fórmula para todas las pruebas que he hecho.

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https://mathoverflow.net/questions/280123/the-set-of-numbers-ab-such-that-ma2nb2-is-prime

Answer 1

No. $$ m=1,n=91, a+b \neq 3 $$ aunque $$ \gcd(1,91) = 1, $$ $$ \gcd(3,92) = 1. $$ $$ 2^2 + 91 \cdot 1^2 = 95 $$ $$ 1^2 + 91 \cdot 2^2 = 365 $$

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Mirar lo que me hizo, teniendo en $m=1,$ que puede tomar cualquier $n \equiv 1 \pmod {30}$ con el mismo resultado. Así, con $n=31,$ nuestros dos números que no son primos $35$ $125.$

Answer 2

Respuesta parcial ...

Observando $A=\{a+b \mid a,b\in \mathbb{N}^{+} \wedge ma^2+nb^2 \in \mathbb{P}^{>2}\}$ $B=\{k > 1 \mid \gcd(k,m+n)=1\}$ es fácil mostrar $A \subset B$.

1. $a,b\in \mathbb{N}^{+} \Rightarrow a+b > 1$
2. Ahora debemos demostrar que $\gcd(a+b,m+n)=1$. Supongamos contrario $\gcd(a+b,m+n)=d>1$$a \equiv -b \pmod{d}$$m \equiv -n \pmod{d}$. O $a^2 \equiv b^2 \pmod{d}$$m \equiv -n \pmod{d}$. O $ma^2 \equiv -nb^2 \pmod{d} \Rightarrow d \mid ma^2 +nb^2$, lo $d$ se divide en un primer $>2$ $d \ne ma^2 +nb^2$ desde $a+b\leq ma^2 +nb^2=d\leq a+b$, lo $a+b=ma^2 +nb^2=2 \notin A$, una contradicción, por lo tanto $d=1$.