Escenario: tengo una integral originalmente expresado en coordenadas Cartesianas que debe--en principio--convergen, pero tengo dificultades para evaluar de manera explícita (debido a las aparentes divergencias) esféricas en coordenadas utilizando el teorema de los residuos.
Programa de instalación: quiero evaluar las siguientes 4-dimensión integral en el espacio Euclidiano,
\begin{equation} \mathcal{I}_L(x_1,x_2)=\int_{|y-x_2|\le L} d^4y \frac{1}{(y-x_1)^2 (y-x_2)^2}, \tag{1}\label{1} \end{equation}
donde $y,x_1,x_2$ 4-vectores; "$||$" denota la distancia Euclidiana de la función; y $(y-x_1)^2\equiv(y-x_1)\cdot(y-x_1)$ "$\cdot$ " el producto escalar. También asumen $L>0$, pero finito.
En primer lugar observamos que aunque el integrando se bifurca en $y=x_1,x_2$, la integral se debe esperar a que convergen en dimensiones motivos.
También tenga en cuenta que el desplazamiento de la integración de la variable, $y\to y+x_2$, en \eqref{1} da,
\begin{align} \mathcal{I}_L(x_1,x_2)=\int_{|y|\le L} d^4y \frac{1}{(y-(x_1-x_2))^2 y^2} \tag{2}\label{2}\\ \end{align}
Ahora este 4-dim l integral puede ser simplificada a una 2-dim l integral por el cambio a 4-dim l "coordenadas esféricas",
\begin{align}
y^1&=|y|\cos(\phi_1)\\
y^2&=|y|\sin(\phi_1)\cos(\phi_2)\\
y^3&=|y|\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\cos(\phi_3)\\
y^4&=|y|\sin(\phi_1)\sin(\phi_2)\sin(\phi_3),\\
\end{align}
donde $\phi_1,\phi_2$ $[0,\pi]$ mientras $\phi_3$ rangos de $[0,2\pi]$. [Nota: los superíndices indican los componentes de la Cartesiano 4-vector, es decir,$y=(y^1,y^2,y^3,y^4)$]
La elección de orientar nuestros ejes de la que $\phi_3$ coincide con el ángulo entre los 4-vectores $y$ $x_1-x_2$ nos permite escribir \eqref{2} como
\begin{align} \mathcal{I}_L(\sigma)&= \int_0^L d|y|\,|y|^3 \int_{S^3} d\Omega_3 \frac{1}{(|y|^2-2|y|\sigma \cos{\phi_3}+\sigma^2)|y|^2}\\ &=\pi \int_0^L d|y| \int_0^{2\pi} d\phi_3 \frac{|y|}{|y|^2-2|y|\sigma \cos{\phi_3}+\sigma^2}, \label{3}\tag{3}\\ \end{align} donde puedo definir la taquigrafía $\sigma\equiv |x_1-x_2|$.
Ahora, la parte angular de la integral en \eqref{3} se ve como un buen candidato para un cálculo de residuos de enfoque, así que me tome $z=e^{i\phi}$ y encontrar
\begin{align} \mathcal{I}_L(\sigma)&=\pi i \int_0^L d|y| \oint_{|z|=1}dz \frac{|y| }{(|y|z-\sigma)(\sigma z-|y|)}\\ &=\frac{\pi i}{\sigma}\int_0^L d|y|\oint_{|z|=1}dz\frac{1}{(z-\sigma/|y|)(z-|y|/\sigma)}.\label{4}\tag{4}\\ \end{align}
Utilizando el teorema de los residuos, me parece
\begin{align} \oint_{|z|=1}dz\frac{dz}{(z-\sigma/|y|)(z-|y|/\sigma)}=2\pi i \frac{\sigma |y|}{|y|^2-\sigma^2}\left\{ \theta (\sigma-|y|)-\theta (|y|-\sigma)\right\}, \tag{5}\label{5} \end{align}
donde $\theta(x>0)=1$ $\theta(x)=0$ lo contrario.
Conectar \eqref{5} a \eqref{4}, rendimientos
\begin{align} \mathcal{I}_L(\sigma)=-2\pi^2\int_0^L d|y|\frac{|y|}{|y|^2-\sigma^2}\left\{ \theta (\sigma-|y|)-\theta (|y|-\sigma)\right\} \label{*} \tag{*} \end{align}
Confusión/Contradicción: Por $L<\sigma$, \eqref {*} ¿se parecen dar un resultado convergente: \begin{align} \mathcal{I}_{L<\sigma}(\sigma)=-\pi^2 \ln\left[1-L^2/\sigma^2\right].\\ \end{align} [Recall: yo he definido la taquigrafía $\sigma\equiv |x_1-x_2|$]
Sin embargo, para $L\ge\sigma$, $\eqref{*}$ parece que difieren de lo que se contradice con el evidente la convergencia de $\eqref{1}$.
Más explícitamente, para $L\ge\sigma$, la integral \eqref{*} naturalmente se divide en 2 partes:
\begin{align} \mathcal{I}_L(\sigma)&=-2\pi^2\left[ \int_0^\sigma-\int_\sigma^L\right] d|y|\frac{|y|}{|y|^2-\sigma^2}\\ &=-\pi^2 \left[ \ln{(|y|^2-\sigma^2)}\right]^\sigma_0+\pi^2\left[\ln{(|y|^2-\sigma^2)}\right]^L_\sigma\\ &\sim -\infty\\ \end{align}
Edit: (elaboración de H. H. Rugh la respuesta) Como señaló correctamente por H. H. Rugh a continuación, $\phi_3$ no puede ser elegido para coincidir con el ángulo entre el$y$$x_1-x_2$. La naturaleza de mi error puede ser fácilmente visualizado en 3 dimensiones el espacio Euclidiano, donde es convencional para elegir un ángulo $\phi:[0,2\pi]$ para denotar las rotaciones en el "$x,y$"-plano alrededor de la "$z$-eje" y un ángulo de $\theta:[0,\pi]$ para denotar las rotaciones lejos de la $z$-eje de la siguiente manera:
\begin{align} x&=r \sin\theta \cos\phi\\ y&=r \sin\theta \sin\phi\\ z&=r \cos\theta,\\ \end{align} donde $r^2=x^2+y^2+z^2$.
Claramente el $\theta$-componente de un arbitrario 3-vector en coordenadas esféricas, $(r,\phi,\theta)$ coincide con el ángulo de entre 3-vector y una mentira a lo largo de la $z$-eje. Sin embargo, el $\phi$-componente de ese mismo arbitraria 3-vector que no necesariamente coincide con el ángulo de entre 3-vector y una mentira a lo largo de la $x$ o $y$-eje. Esto es análogo a mi error de elegir a $\phi_3$ para coincidir con el ángulo entre los 4-vectores $y$$x_1-x_2$.
Para completar, también me explícitamente finalizar el cálculo iniciado por H. H. Rugh, comenzando con
\begin{align} \mathcal{I}_L(\sigma)&= 2\pi \int_0^L dr \int_0^{2\pi} d\phi \frac{r \sin^2 \phi}{r^2 - 2 r \sigma \cos \phi_1 + \sigma^2 } \\ &=\frac{i\pi}{2\sigma}\int_0^L dr \oint_{z=1} dz \frac{(z^2-1)^2}{z^2(z-\sigma/r)(z-r/\sigma)}\\ \end{align}
Ahora hay un adicional relevante de residuos en $z=0$. Aplicando el teorema de los residuos, me parece
$$ \mathcal{I}_{L}(\sigma)= \begin{cases} \pi^2 L^2/\sigma^2 & \text{if } L<\sigma \\ \pi^2 \left(1+\ln(L^2/\sigma)\right) & \text{if } L\ge \sigma\\ \end{casos} $$
