¿Cuándo se $f^{(n)}$ convergen a una función límite como $n\to\infty$ ?

Question

(Esto fue algo que alguien (casi) preguntó en un comentario en un hilo sobre la diferenciación repetida de polinomios).

Consideremos un liso general (es decir $C^\infty$ ) función $f$ . Como siempre $f^{(n)}$ denota el $n$ derivada de $f$ .

¿En qué circunstancia $\{ f^{(n)} \}_{n=1}^\infty$ convergen a una función límite como $n$ va al infinito?

Por ejemplo, cuando $0<k<1$ es fijo y $f(x)=e^{kx}$ entonces tenemos la convergencia puntual $f^{(n)} \to 0$ para $n\to\infty$ donde $0$ es la función cero. El caso $k=1$ es diferente.

Por supuesto, cuando $f(x)=\cos x$ no hay convergencia de la $f^{(n)}$ . Pero $\cos(kx)$ ...

¿Se puede dar un criterio?

Answer 1

Respuesta parcial

Dejemos que $f$ un verdadero $C^\infty$ función s.t. $f$ puede expresarse como su serie de Maclaurin con radio de convergencia $R$ : $$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac {f^{(k)}(0)}{k!}x^k, \forall x \in (-R,R).$$

Por propiedades de las series de potencias, en el interior del dominio de convergencia, tenemos : $$f^{(n)}(x)=\sum_{k=n}^{\infty}\frac {f^{(k)}(0)}{(k-n)!}x^{k-n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac {f^{(n+k)}(0)}{k!}x^{k} , \forall x \in (-R,R).$$

Afirmamos lo siguiente :

Si : $$\lim_{n \to \infty} f^{(n)}(0)=l ,l\in \mathbb{R}\qquad (*)$$ Entonces $(f^{(n)})$ converge uniformemente a $g(x)=l e^x$ en $(-r,r)$ para cualquier $r$ s.t. $0<r<R$ .

Prueba

$$|f^{(n)}(x)-le^x|=\left| \sum_{k=0}^{\infty}\frac {f^{(n+k)}(0)}{k!}x^{k}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac {l}{k!}x^{k}\right|$$

Entonces:

$$|f^{(n)}(x)-le^x| \leq \sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac {f^{(n+k)}(0)-l}{k!}\right|r^{k}.$$

Ya que tenemos $(*)$ , dejemos que $\varepsilon>0$ , para $n$ lo suficientemente grande : $$|f^{(n)}(x)-le^x|\leq \varepsilon e^r.$$

Desde $x$ es arbitraria, la afirmación se deduce.

Observación:

Creo que no se puede hacer nada más con menos limitaciones en la secuencia $(f^{(n)}(0))$ . Por ejemplo, si se supone que sólo está acotado, entonces considera $f(x)=\cos(x)$ .