Calcular el $\lim\limits_{n \to \infty}{nf^{(n)}}(x)$ donde $xf(x)=e^x-1$

Question

Dado que el $xf(x)=e^x-1$ calcular el $\lim\limits_{n \to \infty}{nf^{(n)}}(x)$.

He trate de la figura de la $n$th derivada de la función, pero se ve desordenado. La única utilidad de la recurrencia de la que he encontrado es este: $$nf^{(n-1)}(x)+xf^{(n)}(x)=e^x$$

Answer 1

Sugerencia:

$$f(x)=\int_0^1e^{xt}~\mathrm dt $$

Por lo tanto,

\begin{align}f^{(n)}(x)&=\int_0^1t^ne^{xt}~\mathrm dt\\&=\frac{e^x}{n+1}-x\int_0^1\frac{t^{n+1}}{n+1}e^{xt}~\mathrm dt\end{align}

donde

$$0\le\left|\int_0^1\frac{t^{n+1}}{n+1}e^{xt}~\mathrm dt\right|\le\int_0^1\frac{t^{n+1}}{n+1}e^{|x|}~\mathrm dt=\frac{e^{|x|}}{(n+1)(n+2)}$$

Answer 2

Solución parcial: siéntete libre de editar para añadir la última pieza que falta (que es un Wiki de la Comunidad de respuesta).

He tenido que abstenerse de utilizar el poder de la serie para $\frac{e^x-1}{x}$, es decir,$\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(n+1)!}$, para responder. Este es tentador, aunque, y me animo a probar: en cualquier caso, esto permite demostrar muy fácilmente que $$n f^{(n)}(0) = \frac{n}{n+1} \xrightarrow[n\to\infty]{} 1.$$

Comience con su recurrencia relación, específicamente $$ n f^{(n-1)}(x)+xf^{(n)}(x)=e^x\etiqueta{para todos los $x$} $$ que es fácil de probar por inducción. La conmutación de los índices, obtenemos que para $n\geq 1$ $$ (n+1) f^{(n)}(x)+xf^{(n+1)}(x)=e^x\etiqueta{para todos los $x$} $$ y por lo tanto $$ n f^{(n)}(x)=\frac{n}{n+1}\left( e^x - xf^{(n+1)}(x) \right)\etiqueta{para todos los $x$} $$ Si sabíamos que, para cualquier fijo $x_0$, $\lim_{n\to\infty}f^{(n)}(x_0) = 0$, nos quedaría por hacer: en realidad, entonces el lado derecho de la anterior relación convergería a $1\cdot (e^{x_0}-0)$, lo que da que $$ \lim_{n\to\infty} n f^{(n)}(x) = e^x $$ para cualquier fija $x$. No sabemos, sin embargo.