Manera elegante de mostrar que N es un subgrupo normal de G

Question

Reclamo: Vamos a $G$ ser el conjunto de todos los reales $2 \times 2$ matrices $\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)$ such that $ad \no = 0$, with matrix multiplication as the operation. Let $N$ be the subset where $a = d = 1$. Then $N$ is a normal subgroup of $G$.

Mostrando que $N$ es un subgrupo de $G$ es fácil debido a que $\left( \begin{array}{cc} 1 & b_1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & b_2 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & b_1 + b_2 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$. However, I cannot think of a nice way to show that $$ N es un subgrupo normal. Sería sencillo hacer todos los cálculos, pero también tedioso. Hay una buena manera de hacer esto?

Answer 1

Usted puede darse cuenta de que es el núcleo de la mapa en el que se envía a $$\begin{pmatrix}a&b\\0 &c\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix} a&0 \\ 0 &c\end{pmatrix}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que los autovalores de las matrices en $N$ todos los $1$. La conjugación de cualquier matriz no cambia los valores propios. Desde $G$ es un grupo, la conjugada de la matriz debe todavía ser triangular superior y tiene sus valores propios en la diagonal todavía, por lo que la diagonal de las entradas debe ser 1.

Answer 3

Esta es una aclaración de @jgon la respuesta. Para mostrar $N$ es un subgrupo normal queremos mostrar que $gNg^{-1} = N$ cualquier $g \in G$. Esto es lo que él entiende por conjugación (es decir,$gNg^{-1}$). Conjugado matrices tienen los mismos autovalores desde $$\det(gng^{-1}) = \det(g) \cdot \det (n) \cdot \det(g^{-1}) = \det(g)\cdot \det(g^{-1}) \cdot \det(n) = \det (n),$$ and the determinant of a matrix is equal to the product of its eigenvalues. Now since $G$ is a group, $gng^{-1} \in G$ so it must be upper-triangular and have eigenvalues $1$, meaning $gng^{-1} \N$, precisamente lo que se quería demostrar.