La diferencia entre los números primos de Sophie Germain son divisibles por 3?

Question

Parece que la diferencia entre dos números primos de Sophie Germain mayor que 3 es divisible por 3. Si esto es cierto, ¿cómo demostrarlo?

Un Sophie Germain prime es un primer $p$ tal que $2p+1$ también es una de las principales.

Answer 1

Para $2p+1$ a ser el primer necesita a no ser divisible por $3$. Por lo tanto $p$ no debe ser $1$ modulo $3$ y por lo tanto es $2$ modulo $3$ (a excepción de $p=3$ que se ha excluido).

Por lo tanto cada una de dichas $p$ $2$ modulo $3$ y la diferencia de dos números primos es divisible por $3$.

Answer 2

Un primer $>3$ es congruente a uno de $\pm1\pmod6$. Si $p\equiv1\pmod6$ $2p+1\equiv3\pmod6$ es divisible por tres, y por lo tanto $2p+1$ no es un número primo.

Así que si $p$ es el más pequeño miembro de un Sophie Germain par, debemos tener $p\equiv-1\pmod6$. A continuación,$2p+1\equiv-1\pmod6$, y la diferencia de $p+1$ es divisible por seis.