Clase $C^{- \infty }$ funciones?

Question

Si mi interpretación es correcta, una clase de $C^{-1}$ función (en términos de suavidad, por supuesto) puede ser pensado como una función que se integra a una clase de $C^{0}$ función. Y cuando nos diferencian (en el sentido apropiado, por supuesto), se puede construir una clase de $C^{-2}$ función.

Un ejemplo sería el de estas tres funciones, ordenadas de mayor a menor clase: $$f(x) = |x|$$ $$f(x) = \theta (x)$$ $$f(x) = \delta (x)$$

(esos son escalón unitario y la función delta de Dirac).

Una pregunta natural que viene a mi mente es, ¿existe tal cosa como un $C^{- \infty } - smooth$ función? ¿Qué acerca de la discontinuo-en todas partes funciones?

Tengo algunas ideas, pero no estoy seguro de qué pensar de ellos, así que me gustaría apreciar algunos constructivo respuestas si realmente no existen.

Answer 1

Un par de puntos.

• De dirac no es una función. De hecho, para cualquier localmente integrable función de $f$, su primitiva es un continuo de funciones, por lo que cualquier función es $C^{-1}$ en su sentido (y cualquier $C^{-1}$ debería ser la función localmente integrable para la definición de sentido).

• La primitiva de una liso ($C^\infty$) la función de ser todavía una función suave, cualquier $C^\infty$ función es una de las $C^{-\infty}$ función. De hecho, es obvio a partir de su definición que, si $f$$C^k$$p \leq k$,$f$$C^p$.

• El derecho nociones de regularidad y derivación para funciones generales (como la de dirac) es la configuración de la distribución. Los invito a leer el artículo de wikipedia sobre las distribuciones. En definitiva, sustituir las funciones lineales de las formas en un espacio de funciones de prueba. Cualquier localmente integrable función da lugar a una forma lineal, pero algunas formas como $\phi \mapsto \phi(0)$ (dirac) no se obtienen de las funciones reales y son considerados como funciones generales. Siempre se puede diferenciar tanto como usted desea cualquier distribución. Hay una noción de orden (una función es una distribución de orden 0) y la derivada de una distribución de fin de $n$ es una distribución de fin de $n+1$.