¿Cómo puedo encontrar el siguiente límite? $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(\sqrt{1} + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n})}{n^2} $$ Puede limitar ser encontrar por las sumas de Riemann? $$\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(C_k)\Delta{x} = \int_{a}^{b}f(x)\,dx$$ No estoy seguro de lo $f(C_k)$ es.
Respuestas
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J Richey
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La suma de $1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n}$ es bien aproximada por la integral
$\int_1^n \sqrt{x} dx = \frac{2}{3} (n \sqrt{n} - 1),$
que puede ser visto por la escritura de la suma de Riemann para esta integral. Conectar este, el límite de su serie
$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{3} \frac{\sqrt{n}(n \sqrt{n} - 1)}{n^2} = 2/3.$
Michael Rozenberg
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Por Stolz tenemos $$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}(\sqrt{1} + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n})}{n^2}= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + ... + \sqrt{n}}{n^\frac{3}{2}}= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^3}-\sqrt{(n-1)^3}}=$$ $$= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n^3}+\sqrt{(n-1)^3}\right)}{n^3-(n-1)^3}=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}\left(\sqrt{n^3}+\sqrt{(n-1)^3}\right)}{3n^2-3n+1}=\frac{2}{3}$$
Claude Leibovici
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También puede hacerlo mediante armónica de los números desde $$S_n=\sum_{i=1}^n \sqrt i=H_n^{\left(-\frac{1}{2}\right)}$$ For large values of $n$, Taylor expansion would be $$S_n=\frac{2 n^{3/2}}{3}+\frac{\sqrt{n}}{2}+\zeta \left(-\frac{1}{2}\right)+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$ which makes $$\frac {\sqrt n\,S_n}{n^2}=\frac{2}{3}+\frac{1}{2 n}+O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$$ muestra el límite y cómo abordarla.
Uso de Excel para $n=100$, encontraría $S_{100}\approx 0.671463$, mientras que la fórmula anterior daría $\frac{403}{600}\approx 0.671667$.
