El grupo fundamental de un grupo topológico es abelian

Question

Quiero mostrar el grupo fundamental de un grupo topológico es abelian. De hecho, la pregunta dice que el grupo topológico es el camino conectado. No sé donde debo usar ruta de acceso-conexión. Creo que esto sigue siendo cierto si no suponemos ruta-conectividad. A la derecha?

No sé homotopy. He aprendido el grupo fundamental.

Answer 1

La prueba usual es mostrar que todos los lazos de $\alpha,\beta \colon [0,1] \to G$ del grupo topológico $G$, la concatenación $\alpha \cdot \beta$ es homotop a$t \mapsto \alpha(t)\beta(t)$$t \mapsto \beta(t)\alpha(t)$. Se requiere para la exhibición de fórmulas.

Howerver, mi favorito de la prueba de este resultado es la siguiente, a partir de Grothendieck (creo) : el grupo fundamental de la functor $\pi_1 \colon \mathsf{pcTop} \to \mathsf{Grp}$ a partir de la categoría de trayectoria-conectado espacios topológicos a la categoría de grupos respectos de los productos (clásico lema), por lo que envía los objetos de grupo a los objetos de grupo ; el grupo de objetos de $\mathsf{pcTop}$, los cuales son la trayectoria-conectado topológica de los grupos (por definición), se enviará a los objetos de grupo de $\mathsf{Grp}$, que son los abelian grupos (ejercicio fácil).