El valor esperado de las variables aleatorias iid

Question

Me encontré con esta derivación que no entiendo: Si $X_1, X_2, ..., X_n$ son muestras aleatorias de tamaño n tomada de una población de media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2$, luego

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Esto es donde estoy perdido. El argumento utilizado es $E(X_i) = \mu$ porque son idénticamente distribuidas. En realidad esto no es cierto. Supongamos que tengo una muestra, $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ y si después de seleccionar al azar los números 2, con reemplazo y repita este procedimiento 10 veces, luego me sale 10 muestras: (5, 4) (2, 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). Esta es la forma en que se ve el 2 variables aleatorias $X_1, X_2$. Ahora si puedo tomar la expectativa de valor de $X_1$ I get,

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Pero el valor esperado de la población es de 3.5. Lo que en realidad está equivocado en mi razonamiento?

Answer 1

Primero de todo, $X_1, X_2,...,X_n$ no son ejemplos. Estas son variables aleatorias como se ha señalado por Tim. Supongamos que usted está haciendo un experimento en el cual se puede calcular la cantidad de agua en un alimento; para que usted tome decir 100 medidas de contenido de agua por 100 de alimentos diferentes. Cada vez que usted obtiene un valor de contenido de agua. Aquí el contenido de agua es variable aleatoria y Ahora supongamos que hay en un total de 1000 artículos de comida que existen en el mundo. 100 alimentos diferentes, se llama una muestra de estos 1000 artículos de comida. Observe que el contenido de agua de la variable aleatoria y 100 los valores de contenido de agua obtenida a hacer una muestra.

Supongamos que al azar muestra de n valores de una distribución de probabilidad, de manera independiente y de forma idéntica, es dado que el $E(X)=\mu$. Ahora necesita encontrar el valor esperado de $\bar{X}$. Desde cada una de las $X_i$ es independiente e idénticamente la muestra, el valor esperado de cada una de las $X_i$$\mu$. Por lo tanto, obtener $\frac{n\mu}{n} =\mu$.

La tercera ecuación en tu pregunta es la condición para que un estimador sea imparcial estimador del parámetro de población. La condición para que un estimador sea imparcial es

$$ E(\bar{\theta})=\theta $$

donde theta es el parámetro de población y $\bar{\theta}$ es el parámetro que se estima por ejemplo.

En su ejemplo, que la población es $\{1,2,3,4,5,6\}$ y se le ha dado una muestra de $10$ i.yo.d. los valores que se $\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$. La pregunta es ¿cómo se puede calcular la media de la población es dado este ejemplo. De acuerdo a la fórmula anterior la media de la muestra es un estimador imparcial de la población. El imparcial estimador no necesita ser igual a la real en el medio, pero es lo más cercano a la media de lo que se puede obtener teniendo en cuenta esta información.