Hay un L^p tauberian teorema?

Question

De Wiener del tauberian teorema sabemos que las combinaciones lineales de las traduce de f \en L^1(R) son densos en L^1(R) si y sólo si la transformada de Fourier de f nunca se desvanece. También se sabe que la combinación lineal de los traduce de f \en L^2(R) son densos en L^2 si y sólo si la transformada de Fourier de f es distinto de cero en casi todas partes. Hay una caracterización (en términos de la transformada de Fourier) de funciones en L^p(R) con la propiedad de que las combinaciones lineales de sus traduce son densos en L^p?

Si la respuesta es no puede ser demostrado que no hay una medida del tamaño de la puesta a cero de la transformada de Fourier de f será suficiente para dar una caracterización?

Answer 1

Respecto al argumento de Yemon Choi siguiente: Si f es en $L^p$, $p\neq 1$, es allí cualquier mollifier $h$, lo que puede hacer $h\ast f$$L^1$?

Answer 2

OK, mi primer ingenuos pensamientos son como sigue. Lo que sigue es incompleta, pero voy a dejar aquí en el caso de que se sugiere una solución adecuada o trota la memoria de otra persona.

Veamos el caso 1< p < 2, y sea f\en L^p(R) que se traduce de f no abarcan un subespacio denso. Por dualidad, existe un valor distinto de cero g \en L^p(R) tal que la convolución de f con g es cero (esto convolución es una función continua en R, por lo que no necesitan una.e. calificador de aquí.)

Ahora, si f y g se sabe que tienen bien definidas las transformadas de Fourier, la hipótesis de que g no es idéntica a cero debe implicar que los PIES de f tiene a desaparecer en un `visible' subconjunto de R. Esto sugiere tratando de introducir algunos mollifier funciones, es decir, h y k, cuyas transformadas de Fourier son compacta compatible, pero son de 1 en muy grandes intervalos (tal vez de la Vallée Poussin núcleos sería suficiente?) y, a continuación, teniendo en cuenta

h*f*g*k = 0

donde esperamos que h*f y g*k va a ser en L¹(R), y que g*k no será idéntica a cero. A continuación, aplicar el argumento anterior sabemos que los PIES de h*f tendría que desaparecer en algún intervalo abierto, y, a continuación, mediante la variación de h tal vez podemos finalmente decir algo acerca de la f...

Answer 3

En realidad este es un conocido pregunta. N. Lev y A. Olevskii han demostrado el siguiente teorema:

Teorema (Lev, Olevskii) Dado cualquier 1 < p < 2, uno puede encontrar dos vectores en $l^1(Z)$, de tal manera que uno es cíclico en $l^p(Z)$ y el otro no lo es, pero sus transformadas de Fourier tiene un conjunto idéntico de ceros.

El mismo resultado se sigue por $L^p(R)$.

Mira aquí , por ejemplo, o en arxiv bajo Olevskii o Lev. Esto significa más o menos que para $p\neq 1,2$, no puede haber ninguna caracterización de $L^p$ generadores en términos de la puesta a cero de la transformada de Fourier. Espero que esto ayude.

PS: tal vez debería añadir que tengo la impresión de que este es un gran problema abierto así que usted no debe esperar una fácil respuesta. No está claro en qué términos se debe buscar para tal caracterización. Me pondría en contacto con Nir Lev para obtener más información (puede consultar su correo electrónico en su sitio web).