¿Por qué tengo dos respuestas diferentes (y el libro de texto de un tercio) en esta 3D trig problema?

Question

Simone es hacia el norte y frente a la entrada a un túnel a través de una montaña. Ella se percata de que un $1515$ m alto de la montaña se encuentra en un cojinete de $270^\circ$ desde donde ella está de pie y su pico tiene un ángulo de elevación de $35^\circ$. Cuando ella sale del túnel, la misma montaña tiene un cojinete de $258^\circ$ y su pico tiene un ángulo de elevación de $31^\circ$.

Suponiendo que el túnel está perfectamente nivelado y recto, ¿cuánto es?

He tenido dos problemas con esta pregunta. Me estaba poniendo dos respuestas diferentes, utilizando métodos que deben dar la misma respuesta, y ninguna de esas respuestas coincidentes con la respuesta en el libro de texto.

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Intento 1:

Lo que queremos averiguar es el valor de $d$. Si podemos averiguar los valores de $x$$y$, entonces podemos utilizar el teorema de Pitágoras para averiguar el valor de $d$.

En este caso,

$$x = \frac{1515}{\tan 35^\circ} \qquad\text{and}\qquad y = \frac{1515}{tan 31^\circ}$$

También sabemos que $d =\sqrt{y^{2}-x^{2}}$, por lo que

$$d = \sqrt{\left(\frac{1515}{\tan 31^\circ}\right)^{2}- \left(\frac{1515}{\tan 35^\circ}\right)^{2}}$$

Esto hace que el valor de $d$ sobre 1294 metros.

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Intento 2:

Podemos calcular el valor de $\theta$. En la planta a nivel del triángulo $\theta = 258^\circ -180^\circ = 78^\circ$. Esto también significa $\gamma = 90^\circ - 78^\circ = 12^\circ$. En la solución anterior, calculamos el valor de$x$$y$. Podemos usar trigonometría ratios de averiguar el valor de $d$.

$$\tan\gamma = \frac{d}{x} \qquad\to\qquad d = x \tan 12^\circ = \frac{1515 \tan 12^\circ}{\tan 35^\circ}$$

Esto le da un valor de $d$ igual a $460$ medidor.

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En mi libro de texto, la respuesta de la longitud del túnel es en realidad $650$ metros. Me pregunto ¿qué estoy haciendo mal. También: ¿por Qué son mis dos respuestas no coincidentes?

Answer 1

Aviso que en su primera solución no necesita afirmó el ángulo de $258^\circ$.

De hecho, a partir de la información dada se puede concluir que el ángulo debe ser en realidad $239.1^\circ$.

Así que los que dijo que la información era incompatible eran correctos. El $258^\circ$ es falso.

Usted debe haber sido invitado a encontrar el ángulo desde que se tiene la suficiente información dada a encontrar.

Pero es $239.1^\circ$ $258^\circ$ como se reivindica en el problema.

Answer 2

Desde el ángulo recto del triángulo directamente, conecte los dos triángulos en el plano horizontal:

$$ 1515 \sqrt{ \cot ^2 31^0 - \cot^2 35^0} \approx 1294 $$