Encontrar una secuencia con una propiedad interesante

Question

Estaba leyendo un Elon Lages Lima del libro ("Curso de Análise", IMPA) y no es una cuestión interesante. Encontrar una función $f$ $\mathbb N$ a $\mathbb N$ tal que $\forall n\in \mathbb N$, el conjunto preimagen $f^{-1}(\{n\})$ es infinito. Yo no tengo ninguna idea de cómo construir.

Answer 1

Deje $f(n) = k$ si $n = 2^k \cdot (2l -1)$ para los números naturales $k, l$ -- en otras palabras, si $2^k$ es el más alto poder de $2$ que divide $n$. A continuación,$f^{-1}(k) = \{2^k \cdot 1, 2^k \cdot 3, 2^k \cdot 5, 2^k \cdot 7\ldots \}$.

Answer 2

Considere la secuencia $$0,0,1,\color{green}{0,1,2},\color{red}{0,1,2,3},0,1,2,3,4, 0,1,2,3,4,5,\dots$$

Answer 3

Cómo sobre esto:

1. {x₁: x₁ es primo O 1}$\to 1$.
2. {x₂: $x_2=2\cdot p$, para el primer p>2}$\to 2$.
3. {x₃: $x_3=3\cdot p$, para el primer p>3}$\to 3$.
4. {x₄: $x_4=4\cdot p$, para el primer p>4}$\to 4$ etc.

Lo siento, estaba un poco descuidado.