¿Por qué Serre elegir coherente de las poleas?

Question

Primero - yo no conozco a ninguna de geometría algebraica. Estoy tratando de entender un poco acerca de cuasi coherente de las poleas, pero no por el bien de la AG, así que por favor se basan en como poco conocimiento posible.

Lo que sigue es un extracto de Dieudonné la Historia de la Geometría Algebraica, VIII.2.21:

"Serre el objetivo principal es ampliar, en lo posible, a sus variedades de los resultados en gavilla cohomology descrito anteriormente para el caso clásico ($k=\mathbb C$). Nos limita para coherentes $\mathcal O_X$-módulos (con el fin de ser capaz de utilizar exactamente la misma cohomology de la secuencia con la definición de la cohomology de los grupos ("Čech cohomology"), de la que se vale de sí mismo)..."

La exacta cohomology secuencia mencionado, es el inducido por una corta secuencia exacta de abelian poleas $$0\longrightarrow \mathcal N\longrightarrow \mathcal G\longrightarrow \mathcal G/\mathcal N\longrightarrow 0$$

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De esto entiendo que el propósito original de la coherente de las poleas es simplemente el hecho de formar una abelian categoría. Sin embargo, no entiendo por qué esto justifica la restricción coherente de las poleas ni por qué fueron elegidos específicamente de todos los abelian subcategorías de $\mathcal O_X$-módulos:

No podía Serre hacer su álgebra homológica igual de bien en $\mathcal O_X$-$\mathsf{Mod}$? ¿Cuál es el beneficio de la restricción para $\mathsf{Coh}(X)$? Por qué exactamente ha coherente poleas entran en juego?

Answer 1

Serre no mencionar cuasi coherente poleas ni derivados functor cohomology (=Grothendieck Tohoku cohomology, que se introdujo en 1957) cuando él terminó de escribir la FAC en octubre de 1954, porque nadie en el mundo sabía acerca de estos en esa fecha.
No sabía acerca de abelian categorías, ya sea por la misma razón.
Él introdujo coherente poleas en la geometría algebraica en la imitación de la noción coherente de poleas en geometría analítica, donde habían sido creados por Oka y formalizado por Henri Cartan y Serre sí mismo.
En particular, uno de los triunfos de la FAC fue la prueba en la geometría algebraica contexto de la Cartan-Serre teoremas a y B.
La única gavilla cohomology utilizado por Serre fue Čech cohomology.
La demostración de que uno podría usar el absurdamente grueso de la topología de Zariski para obtener resultados poderosos para variedades algebraicas aturdido algebraica de los geómetras, entre los que se destacan Zariski (!) y Grothendieck, que se inició con la geometría algebraica a través de la FAC.

Answer 2

Todos Serre necesarios para utilizar fue quasicoherent las poleas. Para estos es un teorema fundamental de que Cech cohomology es la "correcta" cohomology. Eso significa que está de acuerdo con la cohomology definido de manera abstracta, a través de derivados functors. Desde derivado de functors dar lugar a largas secuencias exactas, el teorema fundamental implica que a corto exacta de las secuencias de (cuasi)coherente con poleas de rendimiento a largo exacto de las secuencias en la Cech cohomology. Esto simplemente no es cierto para más grueso abelian categorías como arbitrarias las poleas o presheaves.

Para tener una idea de por qué el teorema es cierto para quasicoherent poleas, es cierto en general que Cech cohomology se convierte en el derecho cohomology cuando el espacio tiene una "buena cobertura", que en este caso significa una cubierta de cuyos elementos no tienen mayor cohomology por lo gavilla estamos investigando. Esto siempre es cierto para quasicoherent poleas por una reducción de los afín variedades y, a continuación, álgebra conmutativa, que no es posible para el general de las poleas ya que podría ser que no se cubren en el que la gavilla es que asociado a un módulo a través de un anillo.