Es este límite correcta: $\displaystyle\lim_{x \to+\infty} \frac{\log_{2}(x-1)}{x} = 0$?

Question

Encontrar $espacio \\ \begin{align*} \lim_ {x \to+\infty} \left [ \frac{\log_{2}(x-1)}{x}\right] \end {align*}$.

Después de algunos minutos, alrededor de este límite, yo lo hice de esta manera:

$\log_{2}(x-1)=y \Leftrightarrow 2^y=x-1$

Por eso,$\space x=2^y+1$.

Cuando $x \to +\infty$,$\space y \to +\infty$ también. Por sustitución:

$\begin{align*} \lim_ {y \to+\infty} \left [ \frac{\log_{2}(2^y+1-1)}{2^y+1}\right]=\lim_ {y \to+\infty} \left [ \frac{\log_{2}(2^y)}{2^y+1}\right]=\end{align*}$

$\begin{align*}\lim_ {y \to+\infty} \left [ \frac{y}{2^y+1}\right]=\lim_ {y \to+\infty} \left [ \frac{1}{\frac{2^y+1}{y}} \right]=\lim_ {y \to+\infty} \left [ \frac{1}{\frac{2^y}{y}+\frac{1}{y}}\right]= \frac{1}{+\infty+0}=0 \end{align*}$

Es esto correcto?Hay alguna otra manera fácil de encontrar este límite?Gracias

Answer 1

El uso de cambio de base para los logaritmos, se puede escribir $$\log_2(x-1)=\frac{\ln(x-2)}{\ln(2)}$$ so we have $$\underset{x\to\infty}{\lim}\frac{\ln(x-1)}{x\ln(2)}$$ Aviso como $x\to\infty$, se "$\frac{\infty}{\infty}$" y por lo que podemos utilizar la regla de L'Hospital de y tomar derivados del numerador y el denominador para obtener $$\underset{x\to\infty}{\lim}\dfrac{\frac{1}{x-1}}{\ln(2)}=\underset{x\to\infty}{\lim}\dfrac{1}{\ln(2)(x-1)}=0$$

Answer 2

No soy un experto, pero en un caso como este puede utilizar el Hospital de la norma, la cual establece que$$ \lim_ {x \+\infty} \left [ \frac{\log_{2}(x-1)}{x}\right]
= \lim_ {x \+\infty} \left [ \frac{(\log_{2}(x-1))'}{x'}\right] $$

Si el límite original da $0/0$ o $\infty/\infty$