Cómo probar que $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)} = \frac{1}{kk!}$ cada $k\geqslant1$

Question

Alguien tiene alguna idea de cómo probar

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)(n+2)...(n+k)} = \frac{1}{kk!}$$

Answer 1

Aquí es una manera de solucionar esto sin telescópico. Definir $a_n=\displaystyle\frac{k!}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}$. La expansión de la fracción parcial de $a_n$ es $\displaystyle \sum_{m=0}^k\frac{(-1)^m{k\choose m}}{n+m}.$Let $\displaystyle f(x)=\sum_{m=0}^k\frac{(-1)^m{k\choose m}}{n+m}x^{n+m},$ que $f(0)=0$, $f(1) = a_n$ y $f'(x)=x^{n-1}(1-x)^k$, por la fórmula binomial. Así $a_n=f(1)=\int_0^1f'(x)\,dx=\int_0^1 x^{n-1}(1-x)^k\, dx$. Entonces

$$\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \frac{k!}{n(n+1)(n+2)\cdots(n+k)} &= \sum_{n=1}^\infty \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^k\,dx.\\ &= \int_0^1 \left(\sum_{n=1}^\infty x^{n-1}(1-x)^{k}\right)\,dx\\ &=\int_0^1(1-x)^{k-1}\,dx\\ &=\frac{1}{k}. \end{align*} $$

Intercambio de la suma y la integración es válido debido a la convergencia monótona.