Demostrar que para un polinomio $P\left(z\right)$ suma $\sum_{\left\{ y\,:\, P\left(y\right)=z\right\} }P^{'}\left(y\right)$ no depende de $z$

Question

Me encontré con el siguiente muy intrigante pregunta y no estoy seguro de cómo acercarse a ella. Demostrar que para un complejo polinomio $P\left(z\right)$ la suma de $\sum_{\left\{ y\,:\, P\left y\right)=z\right\} }P^{'}\left y\right) $ does not depend on $z$.

Ayuda se agradece!

Answer 1

Deje $P=(z-a_1)...(z-a_n)$. La derivada logarítmica $$P'(y)/z=\frac{P'}{P}(y)= \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{y-a_i}$$ Ahora, si usted suma de todas las raíces de $P(y)-z$ (menos) suma logarítmica de los derivados de la $P(y)-z$ en los puntos de $a_1, ..., a_n$. Así $$\frac{A}{z}=\sum_{i=1}^{n}\frac{P'(a_i)}{z}$$, where $Una$ es el resultado deseado.

Answer 2

Aquí hay otra solución. Por una generalización del argumento en principio, tenemos \begin{align*} \sum_{y\in P^{-1}(z)} P'(y) = {1\over 2\pi i}\int_C {P'(w)^2\over P(w) - z}\,dw, \tag{1} \end{align*} donde $C$ es un gran círculo, dicen, que contiene todos los ceros de $P(w) - z$. Ahora $C$ también contendrá todos los ceros de $P(w) - z'$ todos los $z'$ lo suficientemente cerca de a $z$, por lo que podemos diferenciar la ecuación anterior para obtener \begin{align*} {d\over dz} \sum_{y\in P^{-1}(z)} P'(y) & = {d\over dz}{1\over 2\pi i}\int_C {P'(w)^2\over P(w) - z}\,dw = {1\over 2\pi i}\int_C {P'(w)^2\over (P(w) - z)^2}\,dw.\tag{2} \end{align*} Por otro lado, si $y_1,\dots,y_n$ son las raíces de $P(w) - z$, luego \begin{align*} \left({P'(w)\over P(w) - z}\right)^2 & = \left(\sum_{k=1}^n {1\over w-y_k}\right)^2 = \sum_{j = 1}^n\sum_{k=1}^n {1\over (w-y_j)(w-y_k)}. \end{align*} Pero, a continuación, $(2)$ es igual a \begin{align*} {1\over 2\pi i}\sum_{j = 1}^n\sum_{k=1}^n\int_C {1\over (w-y_j)(w-y_k)}\,dw & = \sum_{j= 1}^n\sum_{y_k\not = y_j} {1\over y_j-y_k}, \end{align*} y la última suma es igual al de su negativa (por lo tanto igual a $0$) debido a que la indexación es simétrica en $k$$j$. De ello se desprende que $(2)$ es idéntica $0$, y, por tanto, que el $(1)$ es constante, como se requiere.