Grupos con polinomio tasa de crecimiento de la

Question

Deje $G$ ser un finitely generado grupo con el polinomio de la tasa de crecimiento. Indicar la tasa de crecimiento en $\Theta(n^k)$ para un conjunto específico de los generadores.

Considerar los tamaños de las esferas de un determinado radio de $n$ (en lugar de considerar las bolas como en la definición de la tasa de crecimiento). Entonces es cierto que el tamaño de una esfera es $O(n^{k-1})$?

Parece plausible, y esto es lo que sucede con conexión abelian grupos, pero teóricamente es posible que una esfera de un radio específico es muy grande.

Answer 1

Usted puede encontrar algo de información en este preprint por Breuillard y Le Donne. Dicen que este es un problema abierto en general, y para un nilpotent grupo de tamaño de $n$ dicen que el crecimiento es en la mayoría de las $O(n^{k-2/3r})$ donde $r$ es el nilpotency de longitud. También dicen que el $O(n^{k-1})$ unido tiene al $r=2$ por un resultado de Stoll (En el asymptotics del crecimiento de 2-paso nilpotent grupos. J. Londres Matemáticas. Soc. (2), 58(1):38-48, 1998). No sé si el prácticamente nilpotent caso se reduce a la nilpotent caso.