Es este razonamiento correcto?

Question

Vamos a G un grupo finito de desigual orden. Deje $x \in G$ ser un elemento con la propiedad de que existe un elemento $g \in G$ tal que $gxg^{-1} = x^{-1}$. Demostrar $x$ es la marca de $G$.

Aquí está mi razonamiento, pero creo que es incorrecto. Por qué ? \begin{align*} x^{-1}=gxg^{-1} &\Rightarrow gx = x^{-1}g \\ &\Rightarrow (gx)^2 = (gx)(x^{-1}g)=g^2 \\ &\Rightarrow gx =g \\ &\Rightarrow x =e \end{align*}

Answer 1

Casi completo! La brecha en la prueba de ello es cuando te vas de de$(gx)^2=g^2$$gx=g$. Aquí usted necesidad de utilizar el hecho de que el grupo es de orden impar.

Tenga en cuenta que el orden de un elemento debe dividir el orden del grupo. Así que un grupo de orden impar no tiene elementos de orden $2$. El uso de esa herramienta para finalizar.

Añadido: Tenemos que mostrar que cualquier cuadrado tiene un único "de la raíz cuadrada." Considerar el objeto de $a^2$. Desde el fin de la $a^2$ divide al orden del grupo, $a^2$ tiene impar fin, decir $2k+1$. Por lo $a^{2k+1}=e$, y por lo tanto $a^{2k+2}=a$. Por lo $a=(a^2)^{k+1}$. En particular, $a$ está totalmente determinado por $a^2$.