Deje $\mathcal{C}$ ser un abelian categoría, $X$ un objeto de $\mathcal{C}$, $(X_i)_{i \in I}$ un (posiblemente infinita) de la familia de subobjetos de $X$ y asumir que :
A continuación, el colimit de $(X_i)_{i \in I}$ con mapas de transición se inclusiones existe naturales y el mapa
$$\varinjlim_{i \in I} X_i \to \sum_{i \in I} X_i$$
es un isomorfismo.
Prueba. Deje $(f_i : X_i \to Y)_{i \in I}$ ser un sistema compatible de morfismos en $\mathcal{C}$. Vamos a comprobar que no existe un único mapa $f : \sum_{i \in I} X_i \to Y$ $\mathcal{C}$ la satisfacción de la característica universal de colimit. La unicidad es inmediata, ya que se debe tener $f(\sum_{j \in J} x_j) = \sum_{j \in J} f_j(x_j)$ todos los $J \subset I$ finito y para todos los $(x_j)_{j \in J} \in (X_j)_{j \in J}$. Con el fin de demostrar la existencia, debemos verificar que $f$ está bien definida de esta manera. Por lo tanto, debemos comprobar que cualquier relación $\sum_{j \in J} x_j = 0$ $X$ $J \subset I$ finito implica que $\sum_{j \in J} f_j(x_j) = 0$$Y$. Procedemos por inducción sobre $|J|$ (en el caso de $|J|=0$ es trivial). Deje $i \in J$. A continuación,$x_i = -\sum_{j \in J\backslash \{i\}} x_j$, lo $x_i \in X_i \cap (\sum_{j \in J\backslash\{i\}} X_j) = \sum_{j \in J\backslash\{i\}} (X_i \cap X_j)$, lo $x_i = -\sum_{j \in J\backslash\{i\}} x_{i,j}$$x_{i,j} \in X_i \cap X_j$. Los morfismos $(f_j)_{j \in J}$ compatible, tenemos $f_i(x_i) = \sum_{j \in J\backslash\{i\}} f_j(x_{i,j})$, por lo tanto $\sum_{j \in J} f_j(x_j) = \sum_{j \in J\backslash\{i\}} f_j(x_j-x_{i,j})=0$ por inducción.
