Busco un libro lógicamente coherente para el autoaprendizaje de ecuaciones diferenciales. Permítanme aclarar.
Por lógicamente coherente, yo no significan demostraciones de las leyes límite, teoremas de unicidad, etc.
Por lógicamente coherente, yo do significa que el escritor va más allá del "trabajo preliminar" (Fase 1) y realiza el resto del problema (Fases 2,3 y 4).
Por ejemplo, he aquí una solución más o menos aceptable al problema $y' = y.$
Fase 1 - Trabajo desde cero.
Supongamos que $y' = y$ . (El trabajo de raspado comienza siempre con la suposición de la ecuación que hay que resolver).
Supongamos también que $y \neq 0$ . (En la fase de scratchwork, puedes suponer cosas así sin justificación).
Entonces $\dfrac{y'}{y} = 1$ o lo que es lo mismo $\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=1$ . Por lo tanto, existe $C$ tal que $$\int \frac{dy}{y} = x + C.$$
Por lo tanto, existe $C$ tal que $$\log y = x + C.$$
Este mismo $C$ por lo tanto, debe cumplir $y = e^x e^C$ .
Por lo tanto, existe $C$ tal que $y = Ce^x$ .
Conclusión : Para todo real $C$ tenemos una solución prospectiva de la forma $y = Ce^x$ .
Fase 2 - Solidez.
Demostraremos que para todo $C$ si $y=Ce^x$ entonces $y'=y$ .
Prueba . Supongamos que $C$ es real y que $y=Ce^x$ . Entonces como $y = Ce^x$ se deduce que $y' = Ce^x$ Así pues $y'=y$ según sea necesario.
Fase 3 - Proliferación.
Esta es una fase que a veces es necesaria, en la que producimos nuevas soluciones a partir de las que ya hemos encontrado. por ejemplo, si supiéramos que $y=e^x$ era una solución, entonces podríamos utilizar la linealidad de la DE para demostrar que $y=Ae^x$ es una solución. Esto no es necesario, en este caso particular.
Fase 4 - Integridad.
Demostraremos que para todo $C$ si no es el caso que $y=Ce^x$ en todas partes, entonces no es el caso que $y'=y$ en todas partes.
Prueba . Por [Insertar aquí el teorema], el resultado se deduce.
