$\sum_{n=1}^\infty\frac{z^2}{1+n^2z^2}$ converge a la función analítica

Question

Para que $z$, $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{z^2}{1+n^2z^2}$ convergen a una analítica de la función? ¿Cuáles son sus polos?

Creo que los polacos deberían ser $\pm\dfrac{i}{n}$, ya que esos son los valores en los que uno de los denominadores desaparecer. No estoy seguro acerca de la convergencia a la analítica de la función de la parte

Answer 1

Esta suma tiene la forma cerrada. Como se demostró anteriormente $$ f(w)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2-w^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{w}-\pi\cuna(\pi z)\right) $$ así $$ \sum_{n=1}^\infty\dfrac{z^2}{1+n^2z^2}=f(i/z)=-\frac{1}{2} z \left(z-\pi \coth \left(\frac{\pi }{z}\right)\right) $$ Así que la cuestión se simplifica significativamente