¿Es cada Artinian módulo sobre un anillo de Artinian finitamente generado?

Question

Sé que si $R$ es Artinian, un # de $R$-módulo de f.g. es Artinian. ¿F.g. es una condición necesaria?

Answer 1

Si $R$ es Artinian derecho, las bodegas de Hopkins Levitzki teorema , para que cada módulo de $R$ (izquierda o derecha, no importa) es Artinian iff noetheriano iff tiene longitud finita de la composición.

Por supuesto, ser noetheriano implica finitamente generado, pero como usted vea mucho más es cierto.

Answer 2

Sí, si usted tiene un módulo que no es finitamente generado, entonces puede tomar un conjunto mínimo de generación para el módulo y sucesivamente, quitar un elemento para obtener submódulos terminantemente más pequeños, sin nunca obtener el módulo de $0$.