La mentira grupo $SL(n, \mathbb{R})$ admite una deformación retraer sobre el % de grupo de mentira compacto $SO(n, \mathbb{R})$vía descomposición polar. ¿Todos los grupos de mentira admiten deformación se retrae en subgrupos compactos? (Esto está motivado por esto es una forma válida de mostrar $\chi(SL_n(\mathbb{R}))=0$? , donde una solución utiliza la existencia de retracción anterior.)
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Qiaochu del Yuan comentario me envió en la dirección correcta:
- El teorema que da es correcta como se ha dicho, y es debido a Cartan: relacionados con la Mentira de grupo es diffeomorphic para el producto de un máximo de subgrupo compacto y $\mathbb{R}^n$ algunos $n$ (y, de hecho, todas de máxima compacto subgrupos son conjugado). Hay algunas buenas discusión de las pruebas de este hecho en Matemáticas de Desbordamiento: http://mathoverflow.net/questions/53080/homotopy-type-of-connected-lie-groups . Mostow da un compacto argumento en este 1949 Boletín AMS artículo: http://www.ams.org/journals/bull/1949-55-10/S0002-9904-1949-09325-4/home.html .
Algo mejor pero es cierto en el semisimple caso: Cualquier Lie semisimple grupo $G$ admite un llamado Iwasawa descomposición $$G := KAN$$ en la Mentira de grupos, donde
- $K$ es la máxima compacto subgrupo,
- $A$ es abelian, y
- $N$ es nilpotent. En particular, los factores $A$ $N$ son contráctiles, por lo $K$ es una deformación retractarse de $G$. En el caso del ejemplo dado, $G = SL(n, \mathbb{R})$, $K = SO(n, \mathbb{R})$, $A$ es el grupo de positivos diagonal $n \times n$ matrices, y $N$ es el grupo de triangular superior matrices diagonal con los elementos de todas las $n$.
