Cómo evaluar integral $$\int\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}+x-1}dx?$ $ traté de sustitución $u^2=x^2-1$ y $u=\sqrt{x^2-1}+x$ pero resulta demasiado complicado. ¿Aquí alguien me podria ayudar a evaluar la integral? Gracias de antemano.
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Sugerencia; Utilizar la sustitución de Euler; $$x=\frac{u^2+1}{2u}, \mathrm{d}x= \left (1- \frac{u^2+1}{2u^2}\right ) \mathrm{d}u $$ for the integrand, when you substitute back you get $% $ $u=\sqrt{x^2-1}+x$Se convierte el integral;
$$\frac12 \int \frac{u+1}{u} \mathrm{d}u$$
que es bastante fácil de ahora en adelante.
nealmcb
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189
La sustitución de Euler es definitivamente un suave enfoque. Pero si usted no está familiarizado con esto, no hay un enfoque convencional así. Primero restar y sumar 1 en el numerador de modo que usted puede dividir la fracción. Usted necesidad de integrar a $1$ y el plazo $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}+x-1}$ Ahora multiplique este término superior e inferior con su conjugado: $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}-(x-1)}$ Cosas van a cancelar en el denominador. Compruebe usted termina con $\frac{\sqrt{1-x^2}-x+1}{2(x-1)}$. Ahora esta fracción se puede dividir en tres separado de fracciones de términos. El término con el cuadrado de la raíz es un simple trigonometría sub (creo que han visto los de antes) y los otros dos términos son aún más fácil. Este enfoque no es tan rápido como el enfoque de Usuariox, pero quería mostrar que con el ordinario "libro"método, que todavía se puede hacer
Pierre Alvarez
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678
Otra solución es sustituir el x=sin(u) y luego utilizar el % de relaciones bien conocido $cos(u)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$y $sin(u)=\frac{2t}{1+t^2}$ $t=tan(\frac{u}{2})$ para simplificar el problema.
Más detallada: $\int\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}+x-1}dx = x + \int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}+x-1}dx$
$\int^y \frac{1}{\sqrt{x^2-1}+x-1}dx=\int^{arcsin(y)} \frac{cos(x)}{\cos{x}+\sin{x}-1}dx$
Con las dos relaciones que dio arriba, tenemos $\frac{\cos{x}}{\cos{x}+\sin{x}-1}=1+\frac{\frac{1-t^2}{1+t^2}}{\frac{2t+1-t^2-1-t^2}{1+t^2}}=\frac{1-t^2}{t-t^2}=\frac{1+t}{t}=1+\frac{1}{t}=1+\frac{1}{\tan{\frac{u}{2}}}$
Derick Bailey
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37859
¿Aquí alguien me podria ayudar a evaluar la integral? Gracias de antemano.
Como regla general, siempre que lidiar con expresiones que contengan $\sqrt{x^2\pm1}$, la sustitución natural es $x=\cosh t$, $($ $-)$ o $x=\sinh t$, $($ $+)$, desde $\cosh^2t-\sinh^2t=1.~$ luego, después de que con el hecho de que el $\cosh t\pm\sinh t=e^{\large\pm t}$, junto con $\cosh't=\sinh t$$\sinh't=\cosh t,~$% que $e^t=u$ y emplear parcial descomposición de la fracción.
