Este es un problema de álgebra lineal.
En primer lugar, ten en cuenta que no tiene sentido jugar dos veces la misma casilla. Cada casilla debe jugarse una vez, o no jugarse en absoluto.
Considera la red: \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ \hline a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ \hline a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ \hline a_{31}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\\ \hline \end{array}
Definir $a$ como cuando $a_{yx} = 1$ juegas a la plaza, cuando $a_{yx} = 0$ no juegas la plaza. Entonces puedes ver que $a$ es la variable que se quiere resolver, y está restringida por un conjunto de ecuaciones lineales que se muestran a continuación.
Dejemos que $b_{yx}$ sean los valores iniciales de la red. Escribe el enunciado "lugar y x se hace cero":
$b_{y, x} + \sum_{u,v}^{N,N} a_{u,v} \cdot (|u - x| + |v - y| \le_{1/0} D) \equiv 0 \pmod 2$
(Aquí estoy usando $m \le_{1/0} n$ para significar "1 si $m \le n$ y 0 en caso contrario").
...por ejemplo la ecuación "la esquina superior izquierda se hace cero para D=2" es:
$\begin{align} b_{11} & + a_{11}\cdot 1 + a_{12}\cdot 1 + a_{13}\cdot 1 + a_{14}\cdot 0 \\ & + a_{21}\cdot 1 + a_{22}\cdot 1 + a_{23}\cdot 0 + a_{24}\cdot 0 \\ & + a_{31}\cdot 1 + a_{32}\cdot 0 + a_{33}\cdot 0 + a_{34}\cdot 0 \\ & + a_{41}\cdot 0 + a_{42}\cdot 0 + a_{43}\cdot 0 + a_{44}\cdot 0 \equiv 0 \pmod 2 \end{align}$
Se trata de una ecuación lineal en $a$ la variable para la que hay que resolver.
Construye tu $N^2 \times N^2$ y resolver para $a$ :
$\begin {bmatrix} & \cdots \\ \vdots & \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ \vdots \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} -b_{11} \\ -b_{12} \\ \vdots \end{bmatrix} \pmod 2 $
Ejemplo según lo solicitado:
Considere la siguiente posición inicial: $$b = \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline 1&0&0\\ \hline 0&1&0\\ \hline 0&0&1\\ \hline \end{array}$$
Dejemos que $D = 1$ .
La casilla superior izquierda sólo se ve afectada por los cambios en 3 lugares, $a_{11}, a_{12}, a_{21}$ : $$1 + a_{11} + a_{12} + a_{21} \equiv 0 \pmod 2$$ La plaza central se ve afectada por los cambios en 5 lugares: $$1 + a_{12} + a_{21} + a_{22} + a_{23} + a_{32}\equiv 0 \pmod 2$$ La casilla central inferior se ve afectada por los cambios en 4 lugares: $$0 + a_{22} + a_{31} + a_{32} + a_{33} \equiv 0 \pmod 2$$
Y así sucesivamente, puedes obtener 9 ecuaciones en total como esta.
Escríbelos en forma de matriz: $$\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\cr 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{12} \\ a_{13} \\ a_{21} \\ a_{22} \\ a_{23} \\ a_{31} \\ a_{32} \\ a_{33} \\\end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \pmod 2$$
Comienza la Reducción de Filas Reducidas:
$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\cr 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$$ $$\vdots$$ $$\begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$$ $$\vdots$$ $$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$$
Que corresponde a $a_{11} = 1$ , $a_{22} = 1$ , $a_{33} = 1$ y el otro $a$ son cero. Y si lo compruebas, volteando esos 3 se resuelve el problema.
Un ejemplo más general. Supongamos que $N=3$ y $D=2$ . La matriz resultante:
$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & b_{11}\cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & b_{12}\cr 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & b_{13}\cr 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & b_{21}\cr 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & b_{22}\cr 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & b_{23}\cr 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & b_{31}\cr 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & b_{32}\cr 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & b_{33}\end{bmatrix}$$
Que tiene forma de escalón de fila reducido: $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & b_{23}+b_{12} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & b_{31}+b_{22}+b_{21}+b_{11} \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & b_{22}+b_{21} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & b_{13}+b_{12} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{31}+b_{23}+b_{22}+b_{13}+b_{12} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & b_{22}+b_{11} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & b_{22}+b_{12} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{32}+b_{23}+b_{21}+b_{12} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_{33}+b_{31}+b_{23}+b_{21}+b_{13}+b_{11} \end{bmatrix} $$
Lo que significa que sólo tienes una solución si $$b_{32}+b_{23}+b_{21}+b_{12} \equiv 0 \pmod 2$$ $$b_{33}+b_{31}+b_{23}+b_{21}+b_{13}+b_{11} \equiv 0 \pmod 2$$
Para el segundo ejemplo de tu pregunta, esto viene dado por : $$0+0+1+0 \equiv 0 \pmod 2$$ $$0+0+0+1+1+1 \equiv 0 \pmod 2$$
demostrando que su ejemplo es realmente imposible.
