¿Es la ley de la gravedad de Newton compatible con la relatividad general?

Question

Por "Ley de la Gravedad de Newton", me refiero a

La magnitud de la fuerza de gravedad es proporcional al producto de la masa de los dos objetos e inversamente proporcional a su distancia al cuadrado.

¿Se mantiene esta ley de la atracción bajo las ecuaciones tensoriales de la relatividad general?

Realmente no sé lo suficiente de matemáticas como para poder resolver ninguna de las ecuaciones de campo de Einstein, pero ¿se mantiene la ley básica de Newton sobre la magnitud de la atracción?

Si sólo son aproximaciones, ¿en qué se diferencian?

Answer 1

La respuesta de Eric no es realmente correcta (o al menos no es completa). Por ejemplo, no dice nada sobre el movimiento de dos cuerpos comparativamente pesados (y de hecho este problema es muy difícil en la RG, en claro contraste con el caso newtoniano). Así que permítanme precisar un poco más sus afirmaciones.

El enfoque correcto es tratar la gravedad newtoniana como una perturbación del plano El espacio-tiempo de Minkowski . Uno escribe $g = \eta + h$ para la métrica de este espacio-tiempo ( $\eta$ siendo la métrica de Minkowski y $h$ siendo la perturbación que codifica la curvatura del espacio-tiempo) y linealizar la teoría en $h$ . Haciendo esto se obtiene en realidad mucho más que la gravedad newtoniana, a saber gravitomagnetismo en el que también se pueden investigar propiedades dinámicas del espacio-tiempo no incluidas en la imagen newtoniana. En particular, la propagación de las ondas gravitacionales.

Ahora, para recuperar la gravedad newtoniana tenemos que hacer una aproximación más. Basta con darse cuenta de que la gravedad newtoniana no es relativista, es decir, viola la velocidad finita de la luz. Pero si suponemos que $h$ cambia sólo lentamente y haciendo cálculos descubriremos que la métrica de la perturbación $h$ codifica el potencial de campo newtoniano $\Phi$ y que el espacio-tiempo está curvado precisamente para reproducir la gravedad newtoniana. O más bien (desde la perspectiva moderna): La imagen newtoniana es efectivamente una descripción correcta de la RG a baja velocidad y casi plana.

Answer 2

Sí, en el límite adecuado. A grandes rasgos, el estudio del movimiento geodésico en la solución de Schwarzschild (que es radialmente simétrica) se reduce a la gravedad newtoniana a distancias suficientemente grandes y velocidades lentas. Para ver cómo funciona esto exactamente, hay que mirar más específicamente las ecuaciones.

Answer 3

El principal problema aquí es el siguiente: Newton nos da fórmulas para una fuerza, o un campo, si se quiere. Einstein nos da ecuaciones más genéricas a partir de las cuales derivar fórmulas gravitacionales. En este contexto, primero hay que encontrar una solución a las ecuaciones de Einstein. Esto se representa mediante una fórmula. Esta fórmula es la que puede ser, o no, aproximadamente igual a las leyes de Newton.

Dicho esto, como se ha respondido en otro lugar, hay una solución que es muy similar a la de Newton. Es una solución muy importante que describe el campo en el espacio libre.

Puede encontrar más información sobre esta fórmula -en la jerga es una métrica- aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric

El hecho de que sean aproximaciones surge fundamentalmente de diferentes factores: el hecho de que sean leyes invariantes bajo una serie de transformaciones, pero sobre todo preocupaciones de la relatividad especial -en otras palabras, no hay acción a distancia- es uno de los grandes.

Answer 4

Las cuatro respuestas coinciden en afirmar que " no ". La Ley de Newton no es consistente con la Relatividad General. Pero las cuatro respuestas señalan que la Ley de Newton de Newton es a veces una aproximación razonable y puede derivarse de Ecuaciones de Einstein despreciando algunos términos e introduciendo algunas aproximaciones.

Answer 5

La Ley de la Gravedad de Newton es coherente con la Relatividad General también a alta velocidad :)

Consideremos la ecuación de Newton de conservación de la energía para la caída libre desde el infinito con velocidad inicial del objeto igual a cero:

$\large {mc^2=E-\frac{GMm}{R}}$

o

$\large {mc^2=E-\frac{R_{g*}}{R}\;mc^2}$ donde $\large {R_{g*}=GM/c^2}$

así que

$\large {E=mc^2\left(1+\frac{R_{g*}}{R}\right)=mc^2\left(\frac{R+R_{g*}}{R}\right)}$

Ahora

$\large {mc^2=E\;\frac{R}{R+R_{g*}}=E\left(1-\frac{R_{g*}}{R+R_{g*}}\right)}$

y como resultado

$\bf\large {mc^2=E-\frac{GM}{R+R_{g*}}\;\frac{E}{c^2}}$

Comparar con

$\bf\large {mc^2=E-\frac{GMm}{R}}$

En la ecuación resultante la energía ( $E/c^2$ ) es atraído, no la masa ( $m$ ). Por eso el corrimiento gravitacional es el mismo en la Gravedad de Newton y en la Relatividad General (para $R>>R_g$ ).

Una ligera modificación de la ecuación de Newton describe el movimiento radial de un objeto a cualquier velocidad con diferentes condiciones iniciales de la misma manera que la Relatividad General. No sólo la caída libre desde el infinito con velocidad inicial igual a cero.

$\bf\large {E_1\left(1-\frac{GM}{c^2(R_1+R_{gm}+R_{gM})}\right)=E_2\left(1-\frac{GM}{c^2(R_2+R_{gm}+R_{gM})}\right)}$

¡Y no tiene ninguna singularidad! Así que me gusta :)