¿Hay alguna buena razón/argumento/heurístico ¿por qué uno puede aproximar las fuerzas por aproximar los potenciales?

Question

Mi pregunta

Hay alguna buena razón/argumento/heurística ¿por qué uno puede aproximado de fuerzas mediante la aproximación de las potenciales? (Como ejemplo concreto, en la Electrostática.)

La motivación para la pregunta

Estoy estudiando para un (no cuántica) electrodinámica curso (sin apretar siguiente Landau y Lifshitz). En electrostática, se asume que la distribución de carga está contenida en alguna parte delimitada en torno al origen; y queremos calcular (o más bien: aproximado) en el campo, en una gran distancia $r$.

Esto se hace de la siguiente manera: Aproximar el potencial de $\phi(r \vec n)=\frac{Q}{r}+\frac{n_i d_i}{r^2}+O(\frac{1}{r^3})$ ($Q$ es la carga total y $\vec d$ el momento dipolar). Así que, obviamente, si nos detenemos en el $\frac{1}{r^2}$ plazo, el resultado es $\phi'$ es una "buena" aproximación al potencial de $\phi$. Entonces, parece ser que implícitamente supone que el campo de $\vec E'$ $\phi'$ es una "buena" aproximación a la "verdad" $\vec E$$\phi$.

Esto suena físicamente bastante convincente y natural. Pero obviamente, no es cierto en general que $f\approx g$ implica $f'\approx g'$.

Algunas reflexiones

Tal vez la respuesta es que las fuerzas no son tan importantes, de todos modos: Muchas de las propiedades de los sistemas pueden ser descritas "de forma continua" por el potencial. En Electrostática, esta es bastante obvia; en general, la electrodinámica o en lugares donde no hay claridad en conserva total de Energía de este se vuelve más y más borroso para mí.

Por cierto., Soy consciente de que hay una respuesta muy general a lo largo de las líneas de: "en esta familia de ecuaciones en derivadas parciales, la solutiuon depende continuamente de la entrada, así que, por supuesto, una buena aproximación a la voluntad potencial de resultar en muy exactas de las ecuaciones de movimiento". Sin embargo, esto no es muy satisfactorio, desde el punto aquí parece ser la de estimación (al menos en algunos aproximada manera) lo bueno que nuestras aproximaciones. (Por ejemplo, esta respuesta no me diga por qué en el ejemplo anterior es razonable ignorar $O(\frac1{r^3})$ para obtener el "primer orden de aproximación" a algunos ecuación de movimiento; el $O(\frac1{r^3})$ podría tener más influencia que el $\frac1{r^2}$ parte).

Answer 1

Supongamos que usted tiene cualquier función analítica de $f(x)$ y hacer una expansión de Taylor:

$$ f_T(x) = \mathcal{T}_\infty[f](x)= \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$

Para el análisis de las funciones de $f_T = f$. Entonces la derivada de $f_T(x)$ es:

$$ f_T'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n+1)}(0)}{n!}x^{n} = \mathcal{T}_\infty[f](x) $$

y puesto que la derivada de una función analítica es de nuevo analíticos:

$$ f_T'(x) = f'(x) $$

Así que en general, hay una relación entre la expansión de Taylor de una función y su derivada.

Ahora supongamos que detener la expansión en el orden de las $d$. Entonces:

$$ f_T(x) = \mathcal{T}_d[f](x) = \sum\limits_{n=0}^d \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \mathcal{S}(x^{d+1}) $$

De nuevo la derivada, se obtiene: $$ f_T'(x) = \sum\limits_{n=1}^d \frac{f^{(n)}(0)}{(n-1)!}x^{n-1} + \mathcal{S}(x^d) = \sum\limits_{n=0}^{d-1} \frac{f^{(n+1)}(0)}{n!}x^{n} + \mathcal{S}(x^d) = \mathcal{T}_{d-1}[f](x) + \mathcal{S}(x^d) $$

Esto significa que la diferenciación de la expansión a fin de $d$ los rendimientos de la derivada de la función original de aproximarse a fin de $d-1$.

El mismo razonamiento puede ser utilizado para demostrar que la aproximación a los potenciales a fin de $\frac{1}{r^2}$ de los rendimientos en el campo de aproximarse a fin de $\frac{1}{r^3}$. Para esto vamos a $y = \frac{1}{r}$

$$ \phi'(r) = \frac{\partial\phi}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = -\frac{1}{r^2} \phi'(y) $$

La única diferencia aquí es que hay un factor adicional de $\frac{1}{r^2}$, lo que significa que una aproximación de de $\phi$ $d$- ésimo orden de $y = \frac{1}{r}$ resultados en un $d+1$-ésimo orden de aproximación de $\phi'$.

Por lo tanto la calidad de la aproximación en tu ejemplo está muy bien definido. Si el potencial se aproxima a fin de $\frac{1}{r^2}$, entonces el campo se aproxima a fin de $\frac{1}{r^3}$.

El mismo probablemente se extiende a más de una dimensión, aunque yo no lo he comprobado.

También tenga en cuenta que en términos de la calidad general de Taylor expansiones hay maneras de estimar el resto término o dar límites en el resto término, véase por ejemplo la Wikipedia. Si este plazo se calcula la distancia mínima de aproximación de ser bueno puede ser calculado. Sin embargo, el estado general de tales aproximaciones, que para algunos (no necesariamente conocida) distancia mínima de la expansión de Taylor da un buen resultado y un exacto en la distancia infinita.

EDIT: Debido a comentar los debates quiero agregar:

Cada potencial para satisfacer la ecuación de Poisson:

$$\nabla^2 \phi(\vec r) = \rho(\vec r)$$

donde $\rho$ es la distribución de carga asociada con el potencial. Ahora supongamos que la distribución de carga está contenida en una bola de radio $R$ desde el origen. Luego fuera de este cuadro, la de Poisson, la ecuación se reduce a la ecuación de Laplace. Cualquier solución para el potencial lo tiene que satisfacer a la ecuación de Laplace para $r > R$. Las soluciones reales de la ecuación de Laplace se armónica de funciones, que son siempre reales-analítico. Para $r > R$ por lo tanto el potencial es analítica y se puede aproximar con una serie de Taylor alrededor de $r = \infty$. A continuación, para el campo de la primera parte de mi respuesta se aplica.