Me pregunto si podemos decir algo sobre la siguiente situación: Dado un polígono convexo $P$ Si quieres dibujar un cuadrilátero convexo $Q$ que se encuentra en $P$ . Usted quiere maximizar la relación $\dfrac{\text{Area }Q}{\text{Area }P}$ . ¿Cuál es la proporción mínima que siempre se puede lograr, sin importar lo que $P$ es? ¿O no se puede garantizar nada mejor que el cero?
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Siempre hay un cuadrilátero $Q$ en $P$ con $\text{Area}(Q)\ge\frac12\text{Area}(P)$ :
Prueba. Por un argumento estándar de compacidad, existe un cuadrilátero convexo $Q$ en $P$ con un área máxima. Que sea $ABCD$ . Dibuja la línea que pasa por $B$ en paralelo a $AC$ y considera un punto $B'$ que está al otro lado de esa línea del cuadrilátero:
$B'$ no puede estar en $P$ ya que en caso contrario, por convexidad, el cuadrilátero $AB'CD$ estaría contenida en $P$ En contra de nuestra suposición de que $ABCD$ tiene el área máxima para tales cuadriláteros. Así, $P$ se encuentra enteramente en el mismo lado de la línea que trazamos a través de $B$ como el cuadrilátero.
Repitiendo este argumento para los cuatro vértices se obtiene que $P$ está contenido en un paralelogramo $Q'$ cuyos lados son paralelos a las diagonales de $ABCD$ :
Así que $\text{Area}(P) \le \text{Area}(Q') = 2\text{Area}(Q)$ . Fin de la prueba.
Este $\frac12$ no parece ser la mejor constante posible. Por un lado, no podemos obtener la igualdad en la prueba anterior, ya que necesitaríamos $P=Q'$ en cuyo caso podríamos haber obtenido un cuadrilátero con un área mayor que $Q$ . Por otra parte, el mismo resultado se mantiene incluso bajo la restricción de que $Q$ debe ser un rectángulo: para esto y más, véase Marek Lassak, "Approximation of convex bodies by rectangles", Geom. Dedicata 47 (1993), 111-117, doi:10.1007/BF01263495 .
