Ejemplos de álgebras de división

Question

Junto con el teorema de Grunwald-Wang, el teorema de Albert – Brauer – Hasse – Noether implica que cada álgebra simple central sobre un campo de número algébrico es cíclica, es decir, puede obtenerse una construcción explícita de un campo cíclico extensión $L/K$.

¿Hay algún tipo de álgebras de división no surjan cuaterniones o álgebras cíclicas? Nunca he visto esto y sería bueno saber.

Answer 1

Este es un resumen de la construcción de un no-cíclico de la división de álgebra del grado cuatro de Nathan Jacobson libro Finito-Dimensional de la División de Álgebras sobre los Campos. Jacobson dice que Albert fue el primero en construir tales álgebras de división, y el sector de la construcción puede (?) ser una modificación de su método.

La construcción:

• Deje $D(F,\alpha,\beta)$ ser el álgebra de cuaterniones con el centro $F$, y en base a $\{1,u,v,uv\}$, donde $u^2=\alpha$, $v^2=\beta$ y $uv=-vu$.
• Deje $F_0$ ser un subcampo de reales, y $F=F_0(\xi,\eta)$ puramente trascendental de extensión con $\xi,\eta$ algebraicamente independiente sobre $F_0$.
• Deje $D_1=D(F,\eta,\eta)$$D_2=D(F,\xi,\xi\eta)$.
• A continuación, $D=D_1\otimes_FD_2$ es un no-cíclico de la división de álgebra del grado cuatro con el centro $F$ (variaciones son posibles, y que podemos usar como $\beta$-elementos de polinomios en $\xi$ $\eta$ de manera tal que las paridades de los exponentes de la líder plazo son como arriba).

¿Por qué es una división de álgebra?

Aquí el paso clave es que el producto tensor de dos cuaterniones de la división de álgebras sobre un campo $F$ NO es una división de álgebra si y sólo si $D_1$ $D_2$ contienen isomorfo cuadrática extensiones de $F$ subcampos.

Esta condición puede ser re-expresado en términos de la reducción de las normas de la siguiente manera. Deje $D_i', i=1,2$ ser los núcleos de la reducción de la traza mapas de $D_1,D_2$ respectivamente, es decir, el $F$-de los tramos de los respectivos conjuntos de $\{u,v,uv\}$. A continuación, en $D_1'\oplus D_2'$ podemos definir una forma cuadrática $n$ por la receta,$n(x_1,x_2)=n_1(x_1)-n_2(x_2)$. La reformulación dice que $D_1\otimes_F D_2$ es una división de álgebra, iff $n$ es anisotrópico. La equivalencia de estas dos condiciones, es fácil de creer. Por si $n_1(x_1)=n_2(x_2)$ algunos $x_i\in D_i', i=1,2,$, entonces la ecuación cuadrática campos de $F(x_1)$ $F(x_2)$ son isomorfos. La otra dirección no es demasiado difícil.

¿Por qué no es cíclica?

Esto depende de un Lexema debido a Albert: Si $F$ es un campo, $\sqrt{-1}\notin F$, e $E/F$ es cíclica el cuarto grado de extensión, entonces la única cuadrática intermedio de campo es de la forma $F(\sqrt{u^2+v^2})$ donde $u,v\in F$ y (obviamente) $u^2+v^2$ es un no-cuadrado de $F$.

Esto conduce a la idea. Si $D\otimes_F K$ sigue siendo una división de álgebra en cada extensión de escalares de$F$$K=F(\sqrt{u^2+v^2})$, $D$ no puede contener una copia de $K$, y por lo tanto, por Alberto Lema, no contenga un ciclo cuarto grado de extensión de campo. Jacobson, a continuación, procede a demostrar que esto tiene con la anterior $D$. La paridad restricción se mencionó anteriormente salva el día, como el uso de permite mostrar que la forma cuadrática $n$ permanece anisotrópico bajo cuadrática extensiones de escalares de la prescrita tipo.

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Me temo que esto es lo que he hecho en Jacobson del libro. No estoy muy familiarizado con los detalles aquí. De todos modos, espero que esto te da una idea de qué herramientas y trucos de la construcción requiere. Todo esto toma un poco más de cuatro páginas en el libro.