El principiante en probabilidad necesita consejo/guía

Question

Entonces, trabajo para SP+ y hago carteles de garaje para ellos. La mayor parte de las matemáticas que necesito es Geometría y quizás algo de trigonometría. Mi memoria de cálculo es débil, y sólo puedo recordar conceptos básicos de probabilidad.

Mientras estaba en el trabajo, se me ocurrió una pregunta sobre la probabilidad y el azar.

Hemos hecho 20 carteles, pero a 3 les faltaba la puntuación. Sé que eso significa que hay que arreglar el 15% de toda la pila y que hay una probabilidad de 3 entre 20 de que haya que modificar cualquier signo que haya elegido al azar.

Mi compañero de trabajo se llevó la mitad de la pila. Fue entonces cuando pensé que no sabía las posibilidades de obtener alguno de los tres signos si se tomaba la mitad de la pila aleatoria.

Lo primero que pensé fue que la mitad del 15% sería el 7,5%. Es decir, que tendría un 7,5% de posibilidades de conseguir un cartel al que le faltara un trozo de vinilo (llamémoslo M para simplificar).

Sin embargo, eso parece demasiado simple. No creo que funcione, e incluso si lo hiciera, ¿cómo podría calcular las posibilidades de obtener 1, 2 o los 3 signos en mi pila? Sumar 7,5 con él mismo no parece correcto.

Intenté preguntarle a mi mujer (ella era licenciada en matemáticas hace unos años), y no sabía ni le gustaba mucho la probabilidad. Intenté buscar en Google, pero ni siquiera estoy seguro de cómo se llamaría este concepto. Me encontré con algo llamado combinación de múltiples probabilidades, pero no estoy familiarizado con algunos de los signos y conceptos que se utilizan en la ecuación. Básicamente estoy saltando de la probabilidad básica a este complejo problema.

Necesito ayuda para tratar de entender esto porque la pregunta no deja de acosarme. ¿Por dónde empiezo a intentar resolverlo? ¿Existe un nombre especial para este tipo de cosas en las matemáticas? ¿Y cómo podría llegar a una respuesta para una pregunta similar en el futuro?

Answer 1

Seguro que recuerdas este viejo y conocido concepto: $$P(E)=\frac{\operatorname{number of events in E}}{\operatorname{total number of events}}$$ El número total de formas de dividir el $20$ signos en grupos de $2$ es $$\frac{20!}{10!10!}$$ que se puede obtener mediante la fórmula de las particiones. Esta fórmula consiste en que el número de formas de partición $n$ objetos en grupos de $g_1,...,g_n$ objetos para que $g_1+...+g_n=n$ viene dada por $$\frac{n!}{g_1!...g_n!}$$ Ahora tenemos que encontrar el número de arreglos en los que tiene al menos un signo malo en su pila. Esto viene dado, por supuesto, por $$\frac{20!}{10!10!}-N^*$$ Dónde $N^*$ es el número de arreglos en los que se hace no tiene alguna mala señal. Si no tienes ninguna señal mala, es lo mismo que dar las tres señales malas a tu amigo y luego repartir las señales buenas en un grupo de $10$ señales para usted y $7$ más para tu amigo. Por la fórmula de las particiones de nuevo, esto es $$N^*=\frac{17!}{10!7!}$$ Así que el número de arreglos en los que no se obtienen malas señales es $$\frac{20!}{10!10!}-\frac{17!}{10!7!}$$ y la probabilidad final es $$\frac{\frac{20!}{10!10!}-\frac{17!}{10!7!}}{\frac{20!}{10!10!}}$$ $$\frac{20!-8\cdot9\cdot10\cdot17!}{20!}$$ Que es $\approx 0.89$ que al menos una mala señal aparecerá en tu pila. Por lo tanto, es probable que obtengas al menos una señal mala.

Answer 2

Por lo general, una buena manera de probar primero una hipótesis es intentar tomar los casos extremos. Si $100\%$ de la pila que se necesita arreglar entonces tendrías un $100\%$ posibilidad de tener que arreglar una señal después de que la pila se dividiera en lugar de $50\%$ .

Como nota al margen, si quisieras saber el número esperado de piezas que necesitas arreglar, entonces la respuesta sería efectivamente $7.5\% \times 20$ debido a la linealidad de la expectativa.

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Para el problema en cuestión, quieres saber la probabilidad, $p$ de conseguir al menos una señal que necesita arreglar. Esto es $1-P(\text{getting no bad signs})$

Calcular esto es bastante sencillo y es sólo $1-P(\text{getting a good sign $ 10 $ times in a row})$ . Por lo tanto

$$p=1-\frac{17}{20}\frac{16}{19}...\frac{8}{11}=1-\frac{(10)(9)(8)}{(20)(19)(18)}=1-\frac{8}{2^2(19)}=\frac{17}{19}$$

(Nótese que en el cálculo lo estamos tratando como si sacáramos los signos de uno en uno de la pila. Podemos hacerlo porque, en realidad, no es diferente de sacar $10$ signos "todos a la vez")

Answer 3

En lugar de pensar en la elección de una mitad aleatoria, se puede pensar de forma equivalente en barajar los 20 signos, y luego tomar los 10 primeros. Cada orden de los 20 signos tiene la misma probabilidad en una baraja justa, por lo que la probabilidad que se busca es $$P(\text{first 10 signs are not defective}) = \frac{\text{number of orderings of the 20 signs, such that the first 10 signs are not defective}}{\text{number of orderings of the 20 signs}}.$$ Si desea el complemento (probabilidad de que haya al menos un signo defectuoso en su selección), reste la probabilidad anterior a $1$ .]

El denominador es $20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdots 2 \cdot 1$

Para el numerador, queremos que los tres signos defectuosos estén en los últimos 10 signos (no en los 10 que elijas). En la ordenación, hay $10 \cdot 9 \cdot 8$ posiciones en los últimos 10 signos para los tres signos defectuosos (por ejemplo, #12, #15, #18 es una posibilidad, #18, #15, #12 es otra posibilidad separada, al igual que #11, #13, #12). Entonces hay $17! = 17 \cdot 16 \cdots 1$ formas de ordenar los 17 signos buenos en las posiciones restantes.

Por lo tanto, la probabilidad es $$\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 17!}{20!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{20 \cdot 19 \cdot 18}.$$