¿Estoy totalmente atrapado en este caso, como estoy recien comenzando con la teoría analítica del número: Cómo escribir %#% $ #% en términos de la Riemann zeta función? $$\sum_{a\in\mathbb{N}}\sum_{b\in\mathbb{N}}\frac{(a,b)}{a^sb^t}$ denota el máximo común divisor.
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He aquí un boceto. Ordenar primero por el máximo común divisor, establecimiento $g=(a,b)$: $$ \sum_{a=1}^\infty \sum_{b=1}^\infty \frac{(a,b)}{a^s b^t} = \sum_{g=1}^\infty g \mathop{\sum_{a=1}^\infty \sum_{b=1}^\infty}_{(a,b)=g} \frac1{a^s b^t}. $$ Ahora uso el hecho de que $(a,b)=g$ si y sólo si $a=cg$ $b=dg$ para algunos enteros $c,d$$(c,d)=1$. Reescribir en términos de las nuevas variables $c,d$, usted debe obtener un $g^{1-s-t}$ que usted puede sacar del interior de la suma doble.
En el interior de la doble suma, detectar la condición de $(c,d)=1$ mediante la inserción de la suma de $\sum_{e\mid(c,d)} \mu(e)$, lo que equivale a $1$ si $(c,d)=1$ $0$ lo contrario. (Por cierto, este es el más valioso truco en todos los de la teoría analítica de números, creo.) Luego de reorganizar las sumas así que usted tiene una suma de $g$,$e$, $c,d$ tal que $e\mid(c,d)$; nota esta última condición es equivalente a $c=ef$, $d=eh$ donde $f$ $h$ ahora no tienen restricciones.
Con este último cambio de variable, se debe terminar con $$ \sum_{g=1}^\infty g^{1-s-t} \sum_{e=1}^\infty \frac{\mu(e)}{e^{s+t}} \sum_{f=1}^\infty \frac1{f^s} \sum_{h=1}^\infty \frac1{h^t}, $$ que usted debe ser capaz de evaluar en términos de la de Riemann zeta función.
Marko Riedel
Puntos
19255
Esto se desprende de la redacción de la pregunta que tal vez la más elemental enfoque debe ser utilizado.
La reescritura de la suma como $$\sum_{a\ge 1} \frac{1}{a^t} \sum_{b\ge 1} \frac{\gcd(a,b)}{b^s}.$$ Ahora vamos a la factorización de $a$ ser $$ a = p_1^{v_1} p_2^{v_2} \cdots p_r^{v_r}$$ and let the set of primes that appear be denoted as $P(a).$
A continuación, el producto de Euler para el interior de la suma está dada por $$\prod_{k=1}^r \left(1 + \frac{p_k}{p_k^s} + \frac{p^2_k}{p_k^{2}} + \frac{p^3_k}{p_k^{3}} + \cdots + \frac{p^{v_k}_k}{p_k^{v_k s}} + \frac{p^{v_k}_k}{p_k^{(v_k+1) s}} + \frac{p^{v_k}_k}{p_k^{(v_k+2) s}} + \cdots\right) \prod_{p\noen P(a)} \frac{1}{1-p^{s}}.$$ Esto se simplifica a $$\prod_{k=1}^r \left(\frac{1-(p_k/p_k^s)^{v_k}}{1-p_k/p_k^s} + \frac{p_k^{v_k}}{p_k^{v_k s}}\frac{1}{1-(1/p_k^s)} \right)\prod_{p\noen P(a)} \frac{1}{1-p^{s}}$$ que en los términos de la Riemann zeta función es $$\zeta(s) \prod_{k=1}^r \left(\frac{1-(p_k/p_k^s)^{v_k}}{1-p_k/p_k^s}(1-(1/p_k^s)) + \frac{p_k^{v_k}}{p_k^{v_k s}}\right).$$ Tenga en cuenta que el plazo en que el producto tiene el valor de $1$ al $v=0.$ Por lo tanto, la suma es dada por $$\zeta(s) \prod_p \sum_{v\ge 0} \frac{1}{p^{vt}} \left(\frac{1-(p/p^s)^v}{1-p/p^s}(1-(1/p^s)) + \frac{p^v}{p^{v s}}\right).$$ Este es $$\zeta(s) \prod_p \left(\frac{1}{1-1/p^{s+t-1}} + \frac{1-(1/p^s)}{1-p/p^s} \sum_{v\ge 0} \frac{1-(p/p^s)^v}{p^{tv}} \right)$$, que es a su vez $$\zeta(s) \prod_p \left(\frac{1}{1-1/p^{s+t-1}} + \frac{1-(1/p^s)}{1-p/p^s} \frac{1}{1-1/p^t} - \frac{1-(1/p^s)}{1-p/p^s} \frac{1}{1-1/p^{s+t-1}} \right)$$ Ahora pon $z=p^s$ $w=p^t$ para obtener el resultado intermedio $$\zeta(s) \prod_p \left(\frac{1}{1-p/z/w} + \frac{1-1/z}{1-p/z} \frac{1}{1-1/w} - \frac{1-z}{1-p/z} \frac{1}{1-p/z/w} \right).$$ Este factores como $$\zeta(s) \prod_p \frac{ w (1-zw) }{(w - 1) (p - z, w)} = \zeta(s) \prod_p \frac{ w (1-zw)}{(1 - 1/w) w (p - z, w)} \\= \zeta(s)\zeta(t) \prod_p \frac{ 1-zw } {p - z, w} \\ = \zeta(s)\zeta(t) \prod_p \frac{ 1-zw}{z w \times (p/z/w - 1)} \\= \zeta(s)\zeta(t) \prod_p \frac{ zw-1}{z w \times (1-p/z/w)} = \zeta(s)\zeta(t)\zeta(s+t-1) \prod_p \frac{ zw-1}{z, w} \\ = \zeta(s)\zeta(t)\zeta(s+t-1) \prod_p \left(1-\frac{1}{z, w}\right) = \zeta(s)\zeta(t)\frac{\zeta(s+t-1)}{\zeta(s+t)}.$$
