recubrimiento especial de un colector no compacto

Question

Estoy muy atascado en el siguiente ejercicio del libro "A Comprehensive Introduction to Differential Geometry V.1" de Michael Spivak: Sea $M^m$ sea una variedad lisa y conectada no compacta. Demuestre que $M$ es la unión de una secuencia de conjuntos abiertos $U_n$ con las siguientes propiedades:

1. $U_n \cap U_{n+1}$ es no vacía para todos los $n$
2. Para todo conjunto compacto $C \subset M$ hay $N$ tal que $U_n \cap C$ está vacía para todos los $n>N$
3. $U_n$ es difeomorfo a $\mathbb{R}^m$ para todos $n$ .

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Idea de la prueba: Primero elige una secuencia creciente de subconjuntos compactos conectados ${C_n}$ para que $\cup C_n = M.$ A continuación, elija una cubierta $U=$ { $U_\alpha$ } de M por conjuntos abiertos difeomorfos a $\mathbf{R}^m$ que no tiene subcubierta finita. Primero encontraremos una cobertura finita para $C_1$ por conjuntos en U para iniciar su secuencia de conjuntos. A continuación, encuentre coberturas finitas de $C_2 \setminus C_1, C_3\setminus C_2,$ etc. para continuar su secuencia.