¿Las ruedas circulares maximizan la eficiencia mecánica?

Question

Recientemente me preguntaba si hay una demostración simple de que las ruedas circulares maximizan la eficiencia mecánica. Con esto me refiero a:

Mostrar que para una rueda con un ancho y área transversal dados, la rueda circular llega más rápido al fondo de una pendiente que una rueda de cualquier otra forma.

Esto suena como un problema bastante elemental en la mecánica clásica pero no he encontrado una demostración de este hecho en ninguno de los textos de mecánica clásica que he leído.

Nota 1: Supongo que la distribución de masa es uniforme en toda la rueda, por lo que ruedas comparables tendrán la misma masa.

Nota 2: Se asume que hay fricción seca presente.

Answer 1

Probablemente el ancho se refiere a la tercera dimensión, ¿como el grosor? Esto significa que podemos simplemente ver un problema 2D con una densidad de masa superficial $\rho$.

La pregunta no menciona si hay fricción involucrada. Si no hubiera fricción, cada cuerpo se deslizaría exactamente de la misma manera. De esta forma, la pregunta no es interesante de ninguna manera.

Dado que se supone que todas las "ruedas" tienen la misma área de superficie y ancho, todas tienen la misma masa. Entonces se puede reformular la pregunta quizás así: si redistribuimos la masa de una forma circular a otra cosa, ¿qué cambia? El tensor de inercia cambiará. Solo nos interesa el momento de inercia que está a lo largo del eje de rotación. Esto está dado por lo siguiente: $$ I = \iint \mathrm d^2 x \, \rho (\vec x) \, |\vec x^2| = \int \mathrm d x_1 \int \mathrm dx_2 \,\rho (\vec x) \, (x_1^2 + x_2^2) =\int \mathrm d r \, r\int \mathrm d \phi \,\rho (r, \phi) \, r^2 \,.$$ Suponemos que $\rho$ es constante dentro de la superficie y cero fuera de ella. Y ahí puedes ver por qué el círculo es la mejor opción: si tienes un círculo compacto, el factor $r^3$ solo se hará tan grande como el radio del círculo. Si distorsionas la misma área superficial a una elipse, para algunos ángulos $\phi$ no tendrás ese gran $r^3, lo que te “ahorra” algo de inercia. Sin embargo, para otros ángulos necesitas integrar sobre $r$ más a fondo, y ese pedazo de $r^3 se vuelve “costoso”.

Entonces, no importa cómo te desvíes del círculo con la restricción de que el área superficial total sea la misma, tendrás que hacer que $I$ sea más grande que antes. Por lo tanto, el círculo tiene el momento de inercia más pequeño y puede rotar más rápido dado el mismo momento de conducción.

Una elipse con la misma área superficial tiene un contorno más grande. Por lo tanto, no necesita rotar tan rápido como el círculo para recorrer la misma distancia. Sin embargo, creo que el efecto de $I$ volviéndose más grande superará la reducción en las revoluciones necesarias para llegar al fondo de la pendiente.

Answer 2

Surge una complicación a medida que la forma se aleja más de la simetría circular. Cuando adquiere suficiente velocidad angular, cualquier objeto no circular puede 'saltar' fuera de la pendiente. Ver Un cilindro saltando en una rampa inclinada. Al salir de la rampa, el objeto se convierte en un proyectil. Puede ser difícil determinar si esto acelera el descenso o no.

Otra complicación es que el círculo es la única forma que tiene estabilidad neutral. Rodará continuamente en cualquier inclinación, sin importar qué tan pequeño sea el ángulo. Para todas las demás formas, la estabilidad es positiva. En un plano horizontal o una pequeña inclinación, se balanceará alrededor de una posición de equilibrio. Solo comenzará a rodar continuamente si el ángulo es lo suficientemente grande.

Answer 3

La afirmación es falsa tal como está enunciada. La forma siguiente será más rápida:

No pruebo este hecho, pero espero que quede claro que al elegir la distribución de agujeros puedo hacer que la densidad promedio como función de $r$ sea la misma que la de una esfera, que sabes que es más rápida.

Tal vez tengas más suerte si restringes la forma a ser convexa. Pero para plantear un problema bien formado todavía tienes que especificar qué quieres decir con "llega más rápido al fondo de la pendiente". Por ejemplo, si te refieres al tiempo que tarda el punto de contacto en moverse de la parte superior a la parte inferior de la pendiente, entonces un palo largo con la misma longitud de la pendiente que casi se ha caído claramente será el más rápido. (Esto puede sonar como una broma, ¡pero muestra que si quieres una solución matemáticamente rigurosa debes plantear un problema matemáticamente preciso!)

También hay otros problemas... si no hay fuerzas disipativas y la pendiente es lo suficientemente larga, entonces cualquier objeto no circular eventualmente empezará a rebotar por la pendiente en lugar de rodar. ¿Cómo quieres manejar estos casos?

Answer 4

Contraejemplo:

Imagina que la pendiente es arbitrariamente pequeña. Una rueda circular tarda un tiempo arbitrariamente largo en llegar al fondo.

Ahora considera una rueda altamente elíptica que llega al fondo en 1/2 rotación (por lo que la orientación es la misma en la parte superior y en la parte inferior y no estás engañando). Comienza con su eje largo casi vertical y ligeramente inclinado cuesta abajo. Bastante rápidamente, se vuelca cuesta abajo, rueda más allá de su eje corto y continúa rotando hasta que queda erguido en la parte inferior de la colina.

Cuánta inclinación puede tener al principio y aún así rotar más allá de la posición vertical en la parte inferior (y seguir rodando) depende de lo arbitrariamente pequeña que sea la pendiente y de la relación de aspecto de la elipse, pero es fácil intuir que el elipsoide que cae será más rápido que el círculo en circunstancias razonables.

Answer 5

Cualquier forma que no sea un círculo tendrá su centro de gravedad moviéndose hacia arriba y hacia abajo mientras rueda por la pendiente, por lo tanto convertirá parte de la energía cinética obtenida en energía potencial. El círculo no pierde energía cinética de esa manera, por lo que claramente es más rápido.