Los gérmenes y anillo local.

Question

Estoy teniendo problemas para entender el siguiente argumento (que creo que para ser algo incompleto o defectuoso). Deje $A=C(X)$ el conjunto de funciones continuas del espacio topológico $X$ a del plano complejo $\mathbb{C}$. Definimos $m_{x} = \{f \in C(X): f(x) = 0 \}$ $A_x$ el anillo de gérmenes en el punto de $x$. El enunciado es el siguiente $A_x \simeq A_{m_x}$.

(1) no veo cómo se define el $A_{m_x}$ desde el set contiene funciones globales que podrían no estar bien definidas a medida que el cociente de las funciones $f$ tal que $f(x) \neq 0$, pero eso no significa necesariamente que $f \neq 0$. Aunque es bien definida en una vecindad de a $x$.

(2) Ahora, utilizando la característica universal de la localización, estamos seguro de que desea definir $\phi : A_{m_x} \rightarrow A_x$ s.t tenemos $\phi(a/s) = \iota(a)\iota(s)^{-1}$ donde $\iota$ es la inclusión del mapa de $\iota: A \rightarrow A_x$. Queremos $\phi$ a ser un isomorfismo. Es surjective; ahora queremos que sea de uno en uno. Ahora no veo cómo esto es posible como $\phi(a/s) = 0$ fib $a = 0$ en un barrio de $x$, lo que no implica que el $a=0$ a nivel mundial.

Supongo que hay algo que yo realmente no comprender, o mi libro de texto podría ser errónea. De todos modos, gracias por tu ayuda.

Answer 1

Usted necesidad de asumir algo sobre el espacio $X$ para el reclamado declaración para ser verdad. Una suposición natural es que $X$ es completamente regular; voy a utilizar este supuesto, en las direcciones (2) a continuación.

(1) Así, $A_{m_x}$ no es (a priori) un conjunto de funciones, es sólo un anillo formal de "fracciones" (que puede o puede no tener sentido cuando se evaluó como pointwise fracciones de funciones). Usted todavía puede pensar que es perfectamente bien como un anillo sin tener que pensar de sus elementos como de las funciones de $X$ (que, como se observa, no se puede hacer exactamente).

(2) Si $a\in A$ es tal que $a=0$ en un barrio de la $U$$x$, entonces, en el hecho de que la imagen de $a$ en la localización de la $A_{m_x}$ desaparece: la canónica de "inclusión" $A\to A_{m_x}$ no es inyectiva! Para probar esto, tenga en cuenta que por completa regularidad, hay una función de $f:X\to[0,1]$ tal que $f(x)=1$ $f(y)=0$ todos los $y\not\in U$. Luego tenemos la $f\not\in m_x$$fa=0$, por lo que se deduce que el $a$ mapas a $0$ en la localización de la $A_{m_x}$.

Tenga en cuenta que también es necesario usar completa regularidad para demostrar que su mapa de $\phi:A_{m_x}\to A_x$ es surjective: dado un germen de una función continua en $x$, no es en absoluto evidente a priori que se puede escribir como cociente de dos funciones continuas definidas en todos los de $X$. En detalle, si tiene una función $f:U\to\mathbb{C}$ donde $U$ es una vecindad de a $x$, vamos a $V$ ser un barrio de $x$ cuyo cierre está contenida en $U$ (por la regularidad) y deje $g:X\to[0,1]$ ser una función tal que $g(x)=1$ $g(y)=0$ todos los $y\not\in V$ (por completar la regularidad). Definir $h(y)=\min(1,2g(y))$. A continuación, $h=1$ en un barrio de $x$ (es decir, el conjunto donde $g>1/2$), por lo $hf$ (que se define en $U$) tiene el mismo germen en$x$$f$. Pero $hf$ se desvanece en $U\setminus\overline{V}$, de modo que continuamente se puede extender a todos los de $X$ por ajuste es igual a $0$ fuera de $U$. Esta extensión continua es entonces un elemento de $A$ cuyo germen en $x$ coincide con el germen de $f$. Así, el mapa de $A\to A_x$ es surjective, y por lo tanto así es el mapa de $A_{m_x}\to A_x$.

Answer 2

1. La colección de funciones que son cero en $x$ son sin duda un multiplicatively cerrado subconjunto $S$ de el anillo, así que no hay problema de localizar en este conjunto.

2. Siempre podemos asignar una función de $f$ a su germen $[f]$$x$. Si $f$ es distinto de cero en $x$, es distinto de cero en un barrio de $x$, y la función de $\frac 1f$ está definido y distinto de cero en el mismo barrio. A continuación, el germen de la inversa de $f$ en el intervalo es la inversa del germen de la $f$. Así, las cosas en la $M_x$ asignado a las unidades de el anillo de los gérmenes. Por la característica universal de localización, ahora hay un mapa de la localización enen el anillo de gérmenes en el $x$. (Apéndice: yo nunca cuajó que el mapa no es, obviamente, y no voy a pretender aquí al duplicar el trabajo de Eric Wofsey hace en su solución para mostrar que completa regularidad de $X$ es suficiente para demostrar que el mapa es sobre.)

   Tu último comentario es sobre la pista de la derecha. Pero su preocupación de que la preimagen no es globalmente de cero es irrelevante. Comenzando con $f/s$ en su anillo de fracciones, si $[\frac fs]=[0]$ es el cero germen, entonces, por definición de la extensión de $[f]=[0][s]=[0]$. Como usted señaló, $f$ es igual a cero, en un vecindario $U$$x$. Para cerrar el caso de que necesitemos para mostrar que no existe $t\in S$ tal que $tf=0$, lo que demuestra que $f\sim 0$ en la localización. Para esto, usted necesita completar la regularidad (como ha señalado Eric Wofsey). Por la búsqueda de una función continua que es cero en $U^c$$1$$x$, tendrá un elemento $t$.